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  4. Méthode : Donner le signe d'un trinôme du second degré

Donner le signe d'un trinôme du second degré Méthode

Sommaire

1Identifier a, b et c 2Calculer le discriminant \Delta 3Enoncer la conclusion selon le signe de \Delta 4Calculer les racines de P si nécessaire 5Dresser le tableau de signes

Un trinôme du second degré est de la forme P\left(x\right)=ax^2+bx+c. On sait déterminer son signe selon les valeurs de x.

Déterminer le signe du trinôme : P\left(x\right)=x^2-3x+2

Etape 1

Identifier a, b et c

Le trinôme est de la forme P\left(x\right)=ax^2+bx+c où :

  • a est le coefficient de x2
  • b est le coefficient de x
  • c est le terme constant

Pour le trinôme P\left(x\right)=x^2-3x+2, on a :

  • a=1
  • b=-3
  • c=2
Etape 2

Calculer le discriminant \Delta

Le discriminant est : \Delta = b^2-4ac.

On calcule le discriminant \Delta :

\Delta = b^{2} - 4ac

\Delta = \left(-3\right)^{2} - 4\times1\times2

\Delta = 9-8

\Delta = 1

Etape 3

Enoncer la conclusion selon le signe de \Delta

Cas 1

\Delta>0

Le trinôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a à l'intérieur.

Cas 2

\Delta=0

Le trinôme est du signe de a et s'annule en x_0=\dfrac{-b}{2a}

Cas 3

\Delta<0

Le trinôme est toujours du signe de a (il ne s'annule jamais).

Ici, \Delta >0 .

Le trinôme est donc du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a (négatif) à l'intérieur.

Etape 4

Calculer les racines de P si nécessaire

Cas 1

\Delta>0

Le trinôme admet deux racines distinctes x_{1} et x_2 avec :

  • x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
  • x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Cas 2

\Delta=0

Le trinôme admet une racine double x_0=\dfrac{-b}{2a}.

Cas 3

\Delta<0

Le trinôme n'admet pas de racine, on saute donc cette étape.

\Delta>0, le trinôme P\left(x\right)=x^2-3x+2 admet donc deux racines distinctes qui sont :

\begin{aligned}x_{1} &= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-3\right)-\sqrt{1}}{2\times1} \\ &= \dfrac{3-1}{2} \\ &= 1\end{aligned}

\begin{aligned}x_{2} &= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-3\right)+\sqrt{1}}{2\times1} \\ &= \dfrac{3+1}{2} \\ &= 2\end{aligned}

Etape 5

Dresser le tableau de signes

On peut alors dresser le tableau de signes du trinôme.

On obtient le tableau de signes du trinôme P\left(x\right)=x^2-3x+2 :

-
Voir aussi
  • Cours : Équations, fonctions polynômes du second degré
  • Quiz : Équations, fonctions polynômes du second degré
  • Exercice : Déterminer si un réel est racine d'un trinôme
  • Exercice : Trouver une racine évidente pour un polynôme du second degré
  • Exercice : Donner les racines réelles d'un polynôme du second degré donné sous forme factorisée
  • Exercice : Connaître les caractéristiques du discriminant d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Calculer le discriminant d'un polynôme du second degré donné sous forme développée
  • Exercice : Donner les racines d'un trinôme du second degré
  • Exercice : Connaître la relation entre les coefficients d'un polynôme du second degré sous forme développée et ses racines réelles
  • Exercice : Trouver les racines réelles d'un polynôme du second degré à l'aide de leur somme et de leur produit
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme développée
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme factorisée
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme canonique
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré
  • Exercice : Déterminer la forme d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Donner la forme factorisée d'un polynôme du second degré à l'aide de ses racines réelles
  • Exercice : Déterminer la forme développée d'un polynôme du second degré à l'aide de ses racines réelles
  • Exercice : Factoriser un polynôme du second degré sous forme développée à l'aide de l'une de ses racines réelles
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme du second degré à l'aide d'une identité remarquable
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme de degré supérieur à 4 en produit de polynômes du second degré à l'aide d'une identité remarquable
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme du troisième degré à l'aide de l'une de ses racines réelles
  • Problème : Factoriser x^n-1 par x-1
  • Exercice : Déterminer la forme canonique d'un trinôme
  • Problème : Démontrer la formule de la forme canonique d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré sans coefficient constant
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré avec un terme nul
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré sans terme nul
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré
  • Exercice : Factoriser un polynôme de degré 3
  • Problème : Résoudre une équation avec un quotient de polynôme du second degré
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  • Exercice : Repérer un changement de variable transformant une équation de degré supérieur à 4 en équation du second degré
  • Exercice : Effectuer un changement de variable pour retrouver une équation du second degré
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  • Problème : Utiliser le second degré pour résoudre un problème concret
  • Exercice : Traduire un problème géométrique sous forme d'une équation du second degré
  • Problème : Étudier un problème géométrique par une équation du second degré
  • Problème : Démontrer la formule générale de la résolution d'une équation du second degré
  • Exercice : Compléter les signes dans le tableau de signe d'un polynôme du second degré sous forme développée
  • Exercice : Étudier le signe d'un polynôme du second degré sous forme factorisée
  • Exercice : Donner le tableau de signes d'un trinôme du second degré
  • Exercice : Étudier le signe d'un produit d'une fonction polynôme du second degré et d'une fonction affine
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