Quelles sont les solutions réelles de l'équation suivante en fonction de la valeur m ?
2mx^2+2x-3 m+2=0
Il s'agit d'une équation du second degré, donc pour déterminer les solutions on calcule le discriminant.
Ici, a = 2m, b = 2 et c = -3m+2.
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times2 m \times\left(-3 m+2\right)=25-16 m^2=4+24 m^2-16 m=24 m^2-16 m+4
On étudie le signe du discriminant en fonction de m.
24 m^2-16 m+4=4\left(6 m^2-4 m+1\right)
Comme 4\gt0, le signe de 24 m^2-16 m+4 est le même que celui de 6 m^2-4 m+1.
Cherchons donc le signe de 6 m^2-4 m+1
Il s'agit d'un trinôme du second degré donc on calcule son discriminant :
\Delta_2=\left(-4\right)^2-4\times6\times1=16-24=-8.
\Delta_2\lt0, donc pour tout m réel, le trinôme 6 m^2-4 m+1 est du signe de son coefficient du second degré, donc positif.
Ainsi \Delta=24 m^2-16 m+4\gt0, donc l'équation de départ admet deux solutions pour tout m réel.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{24 m^2-16 m+4}}{2\times2 m}=\dfrac{-2-2\sqrt{6 m^2-4 m+1}}{4 m}=\dfrac{-1-\sqrt{6 m^2-4 m+1}}{2 m}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{24 m^2-16 m+4}}{2\times2 m}=\dfrac{-2+2\sqrt{6 m^2-4 m+1}}{4 m}=\dfrac{-1+\sqrt{6 m^2-4 m+1}}{2 m}
Pour m\in\mathbb{R}, l'équation admet deux solutions :
S=\left\{\dfrac{-1-\sqrt{6 m^2-4 m+1}}{2 m};\dfrac{-1+\sqrt{6 m^2-4 m+1}}{2 m} \right\}
Quelles sont les solutions réelles de l'équation suivante en fonction de la valeur m ?
-mx^2+5x-4 m=0
Il s'agit d'une équation du second degré, donc pour déterminer les solutions on calcule le discriminant.
Ici, a = -m, b = 5 et c = -4m.
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times\left(-m\right)\times\left(-4 m\right)=25-16 m^2
On étudie le signe du discriminant en fonction de m.
25-16 m^2=0\Leftrightarrow \left(5-4 m\right)\left(5+4 m\right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{4}\text{ ou }m=-\dfrac{5}{4}
Le trinôme -16 m^2+25 admet donc deux racines et est du signe de a à l'extérieur des racines.
On obtient donc le signe du trinôme :
m\in\left]-\infty;-\dfrac{5}{4} \right[\cup\left]\dfrac{5}{4};+\infty\right[
\Delta\lt0, donc l'équation n'admet pas de solution dans \mathbb{R}.
m=-\dfrac{5}{4} ou m=\dfrac{5}{4}
\Delta=0, donc l'équation admet une seule racine :
x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-5}{-2 m}=\dfrac{5}{2 m}
m\in\left]-\dfrac{5}{4};\dfrac{5}{4}\right[
\Delta\gt0, donc l'équation admet deux solutions réelles :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{25-16 m^2}}{-2 m}=\dfrac{5+\sqrt{25-16 m^2}}{2 m}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+\sqrt{25-16 m^2}}{-2 m}=\dfrac{5-\sqrt{25-16 m^2}}{2 m}
En résumé :
- Pour m\in\left]-\infty;-\dfrac{5}{4}\right[\cup\left]\dfrac{5}{4};+\infty\right[, l'équation n'a pas de solution réelle : S=\varnothing.
- Pour m=-\dfrac{5}{4} et m=\dfrac{5}{4}, l'équation admet une unique solution : S=\left\{ \dfrac{5}{2 m} \right\}.
- Pour m\in\left]-\dfrac{5}{4};\dfrac{5}{4}\right[, léquation admet deux solutions : S=\left\{\dfrac{5+\sqrt{25-16 m^2}}{2 m};\dfrac{5-\sqrt{25-16 m^2}}{2 m} \right\}
Quelles sont les solutions réelles de l'équation suivante en fonction de la valeur m ?
-x^2-mx+4 m=0
Il s'agit d'une équation du second degré, donc pour déterminer les solutions on calcule le discriminant.
Ici, a = -1, b = -m et c = 4m.
\Delta=b^2-4ac=\left(-m\right)^2-4\times\left(-1\right)\times4 m=m^2+16 m
On étudie le signe du discriminant en fonction de m.
m^2+16 m=0\Leftrightarrow m\left(m+16\right)=0\Leftrightarrow m=0\text{ ou }m=-16
Le trinôme m^2+16 m possède donc deux racines et est du signe de a à l'extérieur de ces racines.
On obtient donc le signe du trinôme :
m\in\left]-16;0 \right[
\Delta\lt0, donc l'équation n'admet pas de solution dans \mathbb{R}.
m=-16 ou m=0
\Delta=0, donc l'équation admet une seule racine :
x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{m}{-2}=-\dfrac{m}{2}
m\in\left]-\infty;-16 \right[\cup\left]0;+\infty\right[
\Delta\gt0, donc l'équation admet deux solutions réelles :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{m-\sqrt{m^2+16 m}}{-2}=\dfrac{-m+\sqrt{m^2+16 m}}{2}
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{m+\sqrt{m^2+16 m}}{-2}=\dfrac{-m-\sqrt{m^2+16 m}}{2}
En résumé :
- Pour m\in\left]-16;0\right[, l'équation n'a pas de solution réelle : S=\varnothing.
- Pour m=-16 et m=0, l'équation admet une unique solution : S=\left\{ -\dfrac{m}{2} \right\}.
- Pour m\in\left]-\infty;-16\right[\cup\left]0;+\infty\right[, l'équation admet deux solutions : S=\left\{ \dfrac{-m+\sqrt{m^2+16 m}}{2};\dfrac{-m-\sqrt{m^2+16 m}}{2} \right\}
Quelles sont les solutions réelles de l'équation suivante en fonction de la valeur m ?
x^2+2mx-3 m=0
Il s'agit d'une équation du second degré, donc pour déterminer les solutions on calcule le discriminant.
Ici, a = 1, b = 2m et c = -3m.
\Delta=b^2-4ac=\left(2 m\right)^2-4\times1\times\left(-3 m\right)=4 m^2+12 m
On étudie le signe du discriminant en fonction de m.
\Delta est un polynôme du second degré d'inconnue m. Etudier le signe de \Delta revient donc à étudier le signe de ce trinôme.
Son discriminant vaut \Delta'=12^2-4\times4\times0=144
\Delta' > 0 donc le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur des racines. On calcule directement les racines :
4 m^2+12 m=0\Leftrightarrow 4 m\left(m+3\right)=0\Leftrightarrow m=0\text{ ou }m=-3
On obtient donc le signe du trinôme :
m\in\left]-3;0 \right[
\Delta\lt0, donc l'équation n'admet pas de solution dans \mathbb{R}.
m=-3 ou m=0
\Delta=0, donc l'équation admet une seule racine :
x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-2 m}{2}=-m
m\in\left]-\infty;-3 \right[\cup\left]0;+\infty\right[
\Delta\gt0, donc l'équation admet deux solutions réelles :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2 m-\sqrt{4 m^2+12 m}}{2}=\dfrac{-2 m-2\sqrt{m^2+3 m}}{2}=-m-\sqrt{m^2+3 m}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2 m+\sqrt{4 m^2+12 m}}{2}=\dfrac{-2 m+2\sqrt{m^2+3 m}}{2}=-m+\sqrt{m^2+3 m}
En résumé :
- Pour m\in\left]-3;0\right[, l'équation n'a pas de solution réelle : S=\varnothing.
- Pour m=-3 et m=0, l'équation admet une unique solution : S=\left\{ -m \right\}.
- Pour m\in\left]-\infty;-3\right[\cup\left]0;+\infty\right[, léquation admet deux solutions : S=\left\{ -m-\sqrt{m^2+3 m};-m+\sqrt{m^2+3 m} \right\}