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  4. Méthode : Donner le tableau de variations d'une fonction trinôme

Donner le tableau de variations d'une fonction trinôme Méthode

Sommaire

1Déterminer le signe de a 2Enoncer le sens de variation de f selon le signe de a 3Calculer \dfrac{-b}{2a} et f\left(\dfrac{-b}{2a}\right) 4Dresser le tableau de variations de f

Une fonction trinôme est définie sur \mathbb{R} et a une expression de la forme f\left(x\right)=ax^2+bx+c. On sait déterminer ses variations sur \mathbb{R}.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=-2x^2+4x-1.

Déterminer le tableau de variations de f sur \mathbb{R}.

Etape 1

Déterminer le signe de a

On donne la valeur de a, coefficient de x2 dans le trinôme. On détermine son signe.

La fonction f est une fonction trinôme du second degré.

Pour tout réel x, f\left(x\right)=-2x^2+4x-1.

On a a=-2, donc a<0.

Etape 2

Enoncer le sens de variation de f selon le signe de a

  • Si a>0 alors la fonction est strictement décroissante sur \left] -\infty;\dfrac{-b}{2a} \right] et strictement croissante sur \left[ \dfrac{-b}{2a}; +\infty\right[
  • Si a<0 alors la fonction est strictement croissante sur \left] -\infty;\dfrac{-b}{2a} \right] et strictement décroissante sur \left[ \dfrac{-b}{2a}; +\infty\right[

Ici, a<0, la fonction est donc strictement croissante sur \left] -\infty;\dfrac{-b}{2a} \right] et strictement décroissante sur \left[ \dfrac{-b}{2a}; +\infty\right[.

Etape 3

Calculer \dfrac{-b}{2a} et f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)

On calcule alors les coordonnées du sommet :

  • Son abscisse vaut \dfrac{-b}{2a}
  • Son ordonnée vaut f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)

On calcule les coordonnées du sommet.

  • \dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{-4}{-4}=1
  • f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)=f\left(1\right)=-2\times1^2+4\times1-1=-2+4-1=1

Le sommet de la parabole a pour coordonnées (1 ; 1).

Etape 4

Dresser le tableau de variations de f

On peut alors dresser le tableau de variations de f.

On obtient le tableau de variations de f :

-
Voir aussi
  • Cours : Équations, fonctions polynômes du second degré
  • Quiz : Équations, fonctions polynômes du second degré
  • Exercice : Déterminer si un réel est racine d'un trinôme
  • Exercice : Trouver une racine évidente pour un polynôme du second degré
  • Exercice : Donner les racines réelles d'un polynôme du second degré donné sous forme factorisée
  • Exercice : Connaître les caractéristiques du discriminant d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Calculer le discriminant d'un polynôme du second degré donné sous forme développée
  • Exercice : Donner les racines d'un trinôme du second degré
  • Exercice : Connaître la relation entre les coefficients d'un polynôme du second degré sous forme développée et ses racines réelles
  • Exercice : Trouver les racines réelles d'un polynôme du second degré à l'aide de leur somme et de leur produit
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme développée
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme factorisée
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme canonique
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré
  • Exercice : Déterminer la forme d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Donner la forme factorisée d'un polynôme du second degré à l'aide de ses racines réelles
  • Exercice : Déterminer la forme développée d'un polynôme du second degré à l'aide de ses racines réelles
  • Exercice : Factoriser un polynôme du second degré sous forme développée à l'aide de l'une de ses racines réelles
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme du second degré à l'aide d'une identité remarquable
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme de degré supérieur à 4 en produit de polynômes du second degré à l'aide d'une identité remarquable
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme du troisième degré à l'aide de l'une de ses racines réelles
  • Problème : Factoriser x^n-1 par x-1
  • Exercice : Déterminer la forme canonique d'un trinôme
  • Problème : Démontrer la formule de la forme canonique d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré sans coefficient constant
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré avec un terme nul
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré sans terme nul
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré
  • Exercice : Factoriser un polynôme de degré 3
  • Problème : Résoudre une équation avec un quotient de polynôme du second degré
  • Problème : Résoudre une équation de degré supérieur à 4 à l'aide d'une identité remarquable
  • Exercice : Repérer un changement de variable transformant une équation de degré supérieur à 4 en équation du second degré
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  • Exercice : Résoudre une équation irrationnelle
  • Exercice : Traduire un problème analytique sous forme d'une équation du second degré
  • Problème : Utiliser le second degré pour résoudre un problème concret
  • Exercice : Traduire un problème géométrique sous forme d'une équation du second degré
  • Problème : Étudier un problème géométrique par une équation du second degré
  • Problème : Démontrer la formule générale de la résolution d'une équation du second degré
  • Exercice : Compléter les signes dans le tableau de signe d'un polynôme du second degré sous forme développée
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