Dans un repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right), on considère les points :
T\left(1;3\right), R\left(6;4\right) et I\left(-1;-1\right)
On appelle T', R' et I' les milieux respectifs des côtés \left[RI\right], \left[TI\right] et \left[TR\right] du triangle TRI.
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une équation cartésienne de la médiane issue du point T dans le triangle TRI ?
Dans tout le problème, on se place dans un repère \left(0;\overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right).
Dans le triangle TRI, on sait d'après l'énoncé que le point T' est le milieu du segment \left[RI\right].
Donc la médiane issue du point T coupe le segment \left[RI\right] au point T'.
On cherche à présent une équation cartésienne de la droite \left(TT'\right).
Soit M\left(x;y\right)\in\left(TT'\right), les vecteurs \overrightarrow{TM} et \overrightarrow{TT'} sont donc colinéaires.
On cherche tout d'abord les coordonnées du point T'.
T'\left(\cfrac{x_R+x_I}{2};\cfrac{y_R+y_I}{2}\right), donc :
T'\left(\cfrac{5}{2};\cfrac{3}{2}\right)
On a donc :
\overrightarrow{TM}\begin{pmatrix} x-1 \cr\cr y-3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{TT'}\begin{pmatrix} \cfrac{3}{2} \cr\cr -\cfrac{3}{2} \end{pmatrix} qui sont colinéaires si et seulement si
\left(x-1\right)\times \cfrac{-3}{2}- \left(y-3\right)\times\cfrac{3}{2}=0 \Leftrightarrow -\cfrac{3}{2}x +\cfrac{3}{2}-\cfrac{3}{2}y+\cfrac{9}{2}=0 \Leftrightarrow -\cfrac{3}{2}x -\cfrac{3}{2}y+6=0 \Leftrightarrow -3x-3y+12=0
Une équation cartésienne de la médiane issue du point T dans le triangle TRI est -3x-3y+12=0.
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une équation cartésienne de la médiane issue du point R dans le triangle TRI ?
Dans le triangle TRI, on sait d'après l'énoncé que le point R' est le milieu du segment \left[TI\right].
Donc la médiane issue du point R coupe le segment \left[TI\right] au point R'.
On cherche à présent une équation cartésienne de la droite \left(RR'\right).
Soit M\left(x;y\right)\in\left(RR'\right), les vecteurs \overrightarrow{RM} et \overrightarrow{RR'} sont donc colinéaires.
On cherche tout d'abord les coordonnées du point R'.
R'\left(\cfrac{x_T+x_I}{2};\cfrac{y_T+y_I}{2}\right), donc :
R'\left(0;1\right)
On a donc :
\overrightarrow{RM}\begin{pmatrix} x-6 \cr\cr y-4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{RR'}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr -3 \end{pmatrix} qui sont colinéaires si et seulement si
\left(x-6\right)\times\left(-3\right)-\left(y-4\right)\times\left(-6\right)=0 \Leftrightarrow -3x+18+6y-24=0 \Leftrightarrow -3x+6y -6=0 \Leftrightarrow -x+2y-2=0
Une équation cartésienne de la médiane issue du point R dans le triangle TRI est -x+2y-2=0.
Quelles sont les coordonnées du centre de gravité G du triangle TRI ?
Dans le triangle ABC, le point G nommé centre de gravité du triangle TRI est aussi le point de concourt des trois médianes \left(TT'\right), \left(RR'\right) et \left(II'\right).
Pour déterminer les coordonnées du point G, on doit résoudre le système d'équations suivant :
\left(S\right):\begin{cases} -3x-3y+12=0 \cr \cr -x+2y-2=0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} -3x-3y=-12\;\;\; \qquad \left(L_1\right) \cr \cr -x+2y=2 \qquad\;\;\qquad \left(L_2\right) \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} -3x+3x-3y-6y=-12-6 \qquad\qquad \left(L_1\right)-3\left(L_2\right)\cr \cr -x+2y=2\qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad \left(L_2\right) \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} -9y=-18\cr \cr -x+2y=2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} y=2\cr \cr -x+2\times 2=2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} y=2\cr \cr x=2 \end{cases}
Le couple solution du système \left(S\right) est le couple \left(2;2\right).
Les coordonnées du centre de gravité G du triangle TRI sont donc \left(2;2\right).