Démontrer par récurrence qu'une suite est bornée Exercice

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=1

Donc 0\leqslant u_0\leqslant2

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant2

2\leqslant u_n+2\leqslant4

\sqrt{2}\leqslant \sqrt{u_n+2}\leqslant\sqrt{4}

\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=0

Donc 0\leqslant u_0\leqslant2

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant2

2\leqslant u_n+2\leqslant4

\sqrt{2}\leqslant \sqrt{u_n+2}\leqslant\sqrt{4}

\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=1

Donc 0\leqslant u_0\leqslant2

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant2

2\leqslant u_n+2\leqslant4

\sqrt{2}\geqslant \sqrt{u_n+2}\geqslant\sqrt{4}

\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=1

Donc 0\leqslant u_0\leqslant2

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant2

2\geqslant u_n+2\geqslant4

\sqrt{2}\leqslant \sqrt{u_n+2}\leqslant\sqrt{4}

\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=1

Donc 0\leqslant u_0\leqslant1

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant1

Donc:

0\leqslant\dfrac{u_n}{4}\leqslant \dfrac{1}{4}

-\dfrac{1}{4}\leqslant-\dfrac{u_n}{4}\leqslant 0

1-\dfrac{1}{4}\leqslant1-\dfrac{u_n}{4}\leqslant 1

\dfrac{3}{4}\leqslant u_{n+1}\leqslant 1

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=0

Donc 0\leqslant u_0\leqslant1

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant1

Donc:

0\leqslant\dfrac{u_n}{4}\leqslant \dfrac{1}{4}

-\dfrac{1}{4}\leqslant-\dfrac{u_n}{4}\leqslant 0

1-\dfrac{1}{4}\leqslant1-\dfrac{u_n}{4}\leqslant 1

\dfrac{3}{4}\leqslant u_{n+1}\leqslant 1

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=1

Donc 0\leqslant u_0\leqslant1

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant1

Donc:

0\geqslant\dfrac{u_n}{4}\geqslant \dfrac{1}{4}

-\dfrac{1}{4}\leqslant-\dfrac{u_n}{4}\leqslant 0

1-\dfrac{1}{4}\leqslant1-\dfrac{u_n}{4}\leqslant 1

\dfrac{3}{4}\leqslant u_{n+1}\leqslant 1

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=1

Donc 0\leqslant u_0\leqslant1

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant1

Donc:

0\leqslant\dfrac{u_n}{4}\leqslant \dfrac{1}{4}

-\dfrac{1}{4}\geqslant-\dfrac{u_n}{4}\geqslant 0

1-\dfrac{1}{4}\leqslant1-\dfrac{u_n}{4}\leqslant 1

\dfrac{3}{4}\leqslant u_{n+1}\leqslant 1

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=2

Donc 1\leqslant u_0\leqslant3

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 1\leqslant u_{n+1}\leqslant3

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

1\leqslant u_n\leqslant3

Donc:

\dfrac{1}{2}\leqslant\dfrac{u_n}{2}\leqslant \dfrac{3}{2}

-\dfrac{3}{2}\leqslant-\dfrac{u_n}{2}\leqslant -\dfrac{1}{2}

3-\dfrac{3}{2}\leqslant3-\dfrac{u_n}{2}\leqslant 3 - \dfrac{1}{2}

\dfrac{3}{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{5}{2}

d'où : 1\leqslant u_{n+1}\leqslant 3

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 1\leqslant u_n\leqslant3.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=1

Donc 1\leqslant u_0\leqslant3

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 1\leqslant u_{n+1}\leqslant3

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

1\leqslant u_n\leqslant3

Donc:

\dfrac{1}{2}\leqslant\dfrac{u_n}{2}\leqslant \dfrac{3}{2}

-\dfrac{3}{2}\leqslant-\dfrac{u_n}{2}\leqslant -\dfrac{1}{2}

3-\dfrac{3}{2}\leqslant3-\dfrac{u_n}{2}\leqslant 3 - \dfrac{1}{2}

\dfrac{3}{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{5}{2}

d'où : 1\leqslant u_{n+1}\leqslant 3

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 1\leqslant u_n\leqslant3.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=2

Donc 1\leqslant u_0\leqslant3

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 1\leqslant u_{n+1}\leqslant3

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

1\leqslant u_n\leqslant3

Donc:

\dfrac{1}{2}\geqslant\dfrac{u_n}{2}\geqslant \dfrac{3}{2}

-\dfrac{3}{2}\leqslant-\dfrac{u_n}{2}\leqslant -\dfrac{1}{2}

3-\dfrac{3}{2}\leqslant3-\dfrac{u_n}{2}\leqslant 3 - \dfrac{1}{2}

\dfrac{3}{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{5}{2}

d'où : 1\leqslant u_{n+1}\leqslant 3

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 1\leqslant u_n\leqslant3.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=2

Donc 1\leqslant u_0\leqslant3

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 1\leqslant u_{n+1}\leqslant3

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

1\leqslant u_n\leqslant3

Donc:

\dfrac{1}{2}\leqslant\dfrac{u_n}{2}\leqslant \dfrac{3}{2}

-\dfrac{3}{2}\geqslant-\dfrac{u_n}{2}\geqslant-\dfrac{1}{2}

3-\dfrac{3}{2}\leqslant3-\dfrac{u_n}{2}\leqslant 3 - \dfrac{1}{2}

\dfrac{3}{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{5}{2}

d'où : 1\leqslant u_{n+1}\leqslant 3

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 1\leqslant u_n\leqslant3.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=1

Donc 0\leqslant u_0\leqslant2

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant2

Donc:

0\leqslant\dfrac{u_n}{5}\leqslant \dfrac{2}{5}

-\dfrac{2}{5}\leqslant-\dfrac{u_n}{5}\leqslant 0

2-\dfrac{2}{5}\leqslant2-\dfrac{u_n}{5}\leqslant 2

\dfrac{8}{5}\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=0

Donc 0\leqslant u_0\leqslant2

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant2

Donc:

0\leqslant\dfrac{u_n}{5}\leqslant \dfrac{2}{5}

-\dfrac{2}{5}\leqslant-\dfrac{u_n}{5}\leqslant 0

2-\dfrac{2}{5}\leqslant2-\dfrac{u_n}{5}\leqslant 2

\dfrac{8}{5}\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=1

Donc 0\leqslant u_0\leqslant2

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant2

Donc:

0\geqslant\dfrac{u_n}{5}\geqslant \dfrac{2}{5}

-\dfrac{2}{5}\leqslant-\dfrac{u_n}{5}\leqslant 0

2-\dfrac{2}{5}\leqslant2-\dfrac{u_n}{5}\leqslant 2

\dfrac{8}{5}\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=1

Donc 0\leqslant u_0\leqslant2

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant2

Donc:

0\leqslant\dfrac{u_n}{5}\leqslant \dfrac{2}{5}

-\dfrac{2}{5}\geqslant-\dfrac{u_n}{5}\geqslant 0

2-\dfrac{2}{5}\leqslant2-\dfrac{u_n}{5}\leqslant 2

\dfrac{8}{5}\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=10

Donc 3\leqslant u_0\leqslant10

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 3\leqslant u_{n+1}\leqslant10

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

3\leqslant u_n\leqslant10

9\leqslant u_n+6\leqslant16

\sqrt{9}\leqslant \sqrt{u_n+6}\leqslant\sqrt{16}

3\leqslant u_{n+1}\leqslant 4

3\leqslant u_{n+1}\leqslant 10

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 3\leqslant u_n\leqslant10.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=5

Donc 3\leqslant u_0\leqslant10

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 3\leqslant u_{n+1}\leqslant10

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

3\leqslant u_n\leqslant10

9\leqslant u_n+6\leqslant16

\sqrt{9}\leqslant \sqrt{u_n+6}\leqslant\sqrt{16}

3\leqslant u_{n+1}\leqslant 4

3\leqslant u_{n+1}\leqslant 10

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 3\leqslant u_n\leqslant10.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=10

Donc 3\leqslant u_0\leqslant10

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Supposons que, pour tout n\in \mathbb{N}, la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 3\leqslant u_{n+1}\leqslant10

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

3\leqslant u_n\leqslant10

9\leqslant u_n+6\leqslant16

\sqrt{9}\geqslant \sqrt{u_n+6}\geqslant\sqrt{16}

3\leqslant u_{n+1}\leqslant 4

3\leqslant u_{n+1}\leqslant 10

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 3\leqslant u_n\leqslant10.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=10

Donc 3\leqslant u_0\leqslant10

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 3\leqslant u_{n+1}\leqslant10

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

3\leqslant u_n\leqslant10

9\geqslant u_n+6\geqslant16

\sqrt{9}\leqslant \sqrt{u_n+6}\leqslant\sqrt{16}

3\leqslant u_{n+1}\leqslant 4

3\leqslant u_{n+1}\leqslant 10

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 3\leqslant u_n\leqslant10.

INITIATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=0

Donc 0\leqslant u_0\leqslant2

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant2

1\leqslant u_n+1\leqslant3

\sqrt{1}\leqslant \sqrt{u_n+1}\leqslant\sqrt{3}

1\leqslant u_{n+1}\leqslant \sqrt{3}

0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

INITIATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=1

Donc 0\leqslant u_0\leqslant2

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant2

1\leqslant u_n+1\leqslant3

\sqrt{1}\leqslant \sqrt{u_n+1}\leqslant\sqrt{3}

1\leqslant u_{n+1}\leqslant \sqrt{3}

0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

INITIATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=0

Donc 0\leqslant u_0\leqslant2

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant2

1\geqslant u_n+1\geqslant3

\sqrt{1}\leqslant \sqrt{u_n+1}\leqslant\sqrt{3}

0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

INITIATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=0

Donc 0\leqslant u_0\leqslant2

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant2

1\leqslant u_n+1\leqslant3

\sqrt{1}\geqslant\sqrt{u_n+1}\geqslant\sqrt{3}

1\leqslant u_{n+1}\leqslant \sqrt{3}

0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=5

Donc 0{,}5\leqslant u_0\leqslant5

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0{,}5\leqslant u_{n+1}\leqslant5

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0{,}5\leqslant u_n\leqslant5

-\dfrac{5}{2}\leqslant-\dfrac{1}{2} u_n\leqslant-\dfrac{1}{4}

-\dfrac{5}{2} +3\leqslant-\dfrac{1}{2} u_n +3\leqslant-\dfrac{1}{4} +3

0{,}5\leqslant-\dfrac{1}{2} u_n +3\leqslant 2{,}75

0{,}5\leqslant u_{n+1}\leqslant 2{,}75

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n,  0{,}5\leqslant u_n\leqslant5.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=5

Donc 0{,}5\leqslant u_0\leqslant5

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0{,}5\leqslant u_{n+1}\leqslant5

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0{,}5\leqslant u_n\leqslant5

-\dfrac{5}{2}\geqslant-\dfrac{1}{2} u_n\geqslant-\dfrac{1}{4}

-\dfrac{5}{2} +3\leqslant-\dfrac{1}{2} u_n +3\leqslant-\dfrac{1}{4} +3

0{,}5\leqslant-\dfrac{1}{2} u_n +3\leqslant 2{,}75

0{,}5\leqslant u_{n+1}\leqslant 2{,}75

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0{,}5\leqslant u_n\leqslant5.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=5

Donc 0{,}5\leqslant u_0\leqslant5

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0{,}5\leqslant u_{n+1}\leqslant5

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0{,}5\leqslant u_n\leqslant5

-\dfrac{5}{2}\leqslant-\dfrac{1}{2} u_n\leqslant-\dfrac{1}{4}

-\dfrac{5}{2} +3\geqslant-\dfrac{1}{2} u_n +3\geqslant-\dfrac{1}{4} +3

0{,}5\leqslant-\dfrac{1}{2} u_n +3\leqslant 2{,}75

0{,}5\leqslant u_{n+1}\leqslant 2{,}75

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0{,}5\leqslant u_n\leqslant5.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0=5

Donc 0{,}5\leqslant u_0\leqslant5

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0{,}5\leqslant u_{n+1}\leqslant5

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0{,}5\leqslant u_n\leqslant5

-\dfrac{5}{2}\geqslant-\dfrac{1}{2} u_n\geqslant-\dfrac{1}{4}

-\dfrac{5}{2} +3\geqslant-\dfrac{1}{2} u_n +3\geqslant-\dfrac{1}{4} +3

0{,}5\leqslant-\dfrac{1}{2} u_n +3\leqslant 2{,}75

0{,}5\leqslant u_{n+1}\leqslant 2{,}75

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0{,}5\leqslant u_n\leqslant5.