On cherche à démontrer par récurrence la valeur de la somme suivante :
\sum_{k=0}^{n}k
Quelle est sa valeur ?
On cherche à démontrer par récurrence la valeur de la somme suivante :
\sum_{k=0}^{n}k^2
Quelle est sa valeur ?
On cherche à démontrer par récurrence la valeur de la somme suivante :
\sum_{k=0}^{n}k^3
Quelle est sa valeur ?
On cherche à démontrer par récurrence la valeur de la somme suivante :
\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)
Quelle est sa valeur ?
Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, \sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6} ?
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
On a :
\sum_{k=0}^{0}k^2=0^2=0
De plus :
\dfrac{0\left(0+1\right)\left(2\times0+1\right)}{6}=0
La propriété est donc bien vérifiée au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que :
\sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(2\left(n+1\right)+1\right)}{6}
C'est-à-dire que :
\sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(2n+3\right)}{6}
\sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{\left(n+1\right)\left(2n^2+3n+4n+6\right)}{6}
\sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{\left(n+1\right)\left(2n^2+7n+6\right)}{6}
Or on a :
\sum_{k=0}^{n+1}k^2=0^2+1^2+2^2+....+k^2+\left(k+1\right)^2
\sum_{k=0}^{n+1}k^2=\left( 0^2+1^2+2^2+....+n^2 \right)+\left(n+1\right)^2
On reconnaît \sum_{k=0}^{n}k^2. D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc :
\sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}+\left(n+1\right)^2
\sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}+\dfrac{6\left(n+1\right)^2}{6}
\sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)^2}{6}
Et, en factorisant par \left(n+1\right) :
\sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{\left(n+1\right)\left( n\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right) \right)}{6}
\sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{\left(n+1\right)\left( 2n^2+n+6n+6 \right)}{6}
\sum_{k=0}^{n+1}k^2=\dfrac{\left(n+1\right)\left( 2n^2+7n+6 \right)}{6}
On a bien retrouvé l'expression cherchée. La propriété est héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, \sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}.
\forall n \in\mathbb{N},\sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}
Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, \sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)=n^2 ?
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=1.
On a :
\sum_{k=1}^{1}\left(2k-1\right)=2 -1=1
De plus :
1^2=1
La propriété est donc bien vérifiée au rang n=1.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N} *. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que :
\sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)=\left(n+1\right)^2
Or on a :
\sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)=1+3+5+...+\left(2n-1\right)+\left(2n+1\right)
On reconnaît \sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right). D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc :
\sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)=n^2 +\left(2n+1\right)
\sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right)=n^2 +2n+ 1
On reconnaît une identité remarquable de base:
\sum_{k=1}^{n+1}\left(2k-1\right) = \left(n+1\right)^2
On a bien retrouvé l'expression cherchée. La propriété est héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, \sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)=n^2.
\forall n \in\mathbb{N},\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)=n^2
Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, \sum_{k=0}^{n}k^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4} ?
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
On a :
\sum_{k=0}^{0}k^3=0^3=0
De plus :
\dfrac{0^2\left(0+1\right)^2}{4}=0
La propriété est donc bien vérifiée au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que :
\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}
Or on a :
\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\left( 0^3+1^3+2^3+....+n^3\right)+\left(n+1\right)^3
On reconnaît \sum_{k=0}^{n}k^3. D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc :
\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\left(n+1\right)^3
\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\dfrac{4\left(n+1\right)^3}{4}
\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2+4\left(n+1\right)^3}{4}
Et, en factorisant par \left(n+1\right)^2 :
\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left( n^2+4\left(n+1\right) \right)}{4}
\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left( n^2+4n+4 \right)}{4}
\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left( n+2\right)^2}{4}
On a bien retrouvé l'expression cherchée. La propriété est héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, \sum_{k=0}^{n}k^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}.
\forall n \in\mathbb{N},\sum_{k=0}^{n}k^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}
Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, \sum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2} ?
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
On a :
\sum_{k=0}^{0}k=0=0
De plus :
\dfrac{0\left(0+1\right)}{2}=0
La propriété est donc bien vérifiée au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que :
\sum_{k=0}^{n+1}k=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}
Or on a :
\sum_{k=0}^{n+1}k=\left( 0+1+2+....+n \right)+\left(n+1\right)
On reconnaît \sum_{k=0}^{n}k. D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc :
\sum_{k=0}^{n+1}k=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\left(n+1\right)
\sum_{k=0}^{n+1}k=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{2\left(n+1\right)}{2}
\sum_{k=0}^{n+1}k=\dfrac{n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)}{2}
\sum_{k=0}^{n+1}k=\dfrac{\left(n+1\right)\left( n+2 \right)}{2}
On a bien retrouvé l'expression cherchée. La propriété est héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, \sum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}.
\forall n \in\mathbb{N},\sum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}