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  4. Méthode : Etudier la convergence d'une suite

Etudier la convergence d'une suite Méthode

Sommaire

Méthode 1En calculant directement la limite 1Déterminer la valeur de la limite éventuelle 2Conclure sur la convergence de la suiteMéthode 2En utilisant les théorèmes de convergence monotone 1Étudier la monotonie de la suite 2Étudier la majoration ou minoration de la suite 3Conclure à l'aide des théorèmes de convergence monotone
Méthode 1

En calculant directement la limite

Si la suite est définie de manière explicite, on peut parfois déterminer directement la valeur de son éventuelle limite.

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\forall n\in\mathbb{N},\ u_n=\dfrac{1}{2e^n}

Montrer que \left( u_n \right) converge et donner la valeur de sa limite.

Etape 1

Déterminer la valeur de la limite éventuelle

On peut calculer la valeur de la limite de la suite de trois façons différentes :

  • En utilisant les limites usuelles et les règles des opérations sur les limites
  • En utilisant le théorème des gendarmes
  • En utilisant les théorèmes de comparaison

On a :

\lim\limits_{n \to +\infty}\ 2e^n=+\infty

Or :

\lim\limits_{X \to +\infty}\ \dfrac1X=0

On a donc :

\lim\limits_{n \to +\infty}\ \dfrac{1}{2e^n}=0

Ainsi :

\lim\limits_{n \to +\infty}\ u_n=0

Etape 2

Conclure sur la convergence de la suite

Si la limite trouvée dans l'étape précédente est finie, la suite converge. Sinon, la suite diverge.

Ainsi, la suite \left(u_n\right) converge vers 0.

Méthode 2

En utilisant les théorèmes de convergence monotone

Si la suite est définie par récurrence, on ne peut généralement pas calculer sa limite directement. On utilise alors un théorème de convergence monotone.

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\begin{cases} u_0=2 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2} \end{cases}

On admet que \forall n\in\mathbb{N},\ u_n\gt0. Montrer que la suite \left( u_n \right) est convergente.

Etape 1

Étudier la monotonie de la suite

On détermine si la suite est croissante ou décroissante.

Pour tout entier naturel n, on a :

u_{n+1}-u_{n}=-\dfrac{u_n}{2}

Or, d'après l'énoncé :

\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\gt0

Ainsi, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}-u_{n}\leqslant0

Soit :

u_{n+1}\leqslant u_n

La suite \left(u_n\right) est donc décroissante.

Etape 2

Étudier la majoration ou minoration de la suite

  • Si la suite est croissante, on détermine si elle est majorée.
  • Si la suite est décroissante, on détermine si elle est minorée.

On sait que :

\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\gt0

La suite \left(u_n\right) est donc minorée par 0.

Etape 3

Conclure à l'aide des théorèmes de convergence monotone

On sait que :

  • Si la suite est croissante et majorée, elle converge.
  • Si la suite est décroissante et minorée, elle converge.

Par ailleurs :

  • Si la suite est croissante et non majorée, elle diverge vers +\infty.
  • Si la suite est décroissante et non minorée, elle diverge vers -\infty.

Cette méthode ne permet pas de conclure sur la valeur de la limite de la suite si celle-ci converge. Le majorant (ou le minorant) déterminé n'est pas nécessairement la limite.

La suite \left(u_n\right) étant décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente. On note l sa limite.

Voir aussi
  • Cours : Les suites
  • Quiz : Les suites
  • Exercice : Connaître les caractéristiques des limites infinies de suites
  • Exercice : Connaître les caractéristiques des limites finies de suites
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une suite convergente
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une suite divergente
  • Exercice : Conjecturer graphiquement si une suite est convergente ou divergente
  • Exercice : Conjecturer graphiquement la limite d'une suite
  • Exercice : Compléter les limites d'une somme de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Déterminer la limite d'une somme de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Compléter les limites d'un produit de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Déterminer la limite d'un produit de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Compléter les limites d'un quotient de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Déterminer la limite d'un quotient de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Déterminer la limite d'une opération de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Connaître le théorème des gendarmes
  • Exercice : Déterminer la limite d'une suite à l'aide du théorème des gendarmes
  • Exercice : Déterminer la convergence d'une suite géométrique
  • Exercice : Déterminer la convergence d'une combinaison linéaire de suites géométriques
  • Exercice : Connaître les étapes du raisonnement par récurrence
  • Exercice : Démontrer qu'une suite est majorée par récurrence
  • Exercice : Démontrer qu'une suite est minorée par récurrence
  • Exercice : Démontrer qu'une suite est bornée par récurrence
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