Sommaire
Méthode 1En calculant directement la limite 1Déterminer la valeur de la limite éventuelle 2Conclure sur la convergence de la suiteMéthode 2En utilisant les théorèmes de convergence monotone 1Étudier la monotonie de la suite 2Étudier la majoration ou minoration de la suite 3Conclure à l'aide des théorèmes de convergence monotoneEn calculant directement la limite
Si la suite est définie de manière explicite, on peut parfois déterminer directement la valeur de son éventuelle limite.
Soit \left( u_n \right) la suite définie par :
\forall n\in\mathbb{N},\ u_n=\dfrac{1}{2e^n}
Montrer que \left( u_n \right) converge et donner la valeur de sa limite.
Déterminer la valeur de la limite éventuelle
On peut calculer la valeur de la limite de la suite de trois façons différentes :
- En utilisant les limites usuelles et les règles des opérations sur les limites
- En utilisant le théorème des gendarmes
- En utilisant les théorèmes de comparaison
On a :
\lim\limits_{n \to +\infty}\ 2e^n=+\infty
Or :
\lim\limits_{X \to +\infty}\ \dfrac1X=0
On a donc :
\lim\limits_{n \to +\infty}\ \dfrac{1}{2e^n}=0
Ainsi :
\lim\limits_{n \to +\infty}\ u_n=0
Conclure sur la convergence de la suite
Si la limite trouvée dans l'étape précédente est finie, la suite converge. Sinon, la suite diverge.
Ainsi, la suite \left(u_n\right) converge vers 0.
En utilisant les théorèmes de convergence monotone
Si la suite est définie par récurrence, on ne peut généralement pas calculer sa limite directement. On utilise alors un théorème de convergence monotone.
Soit \left( u_n \right) la suite définie par :
\begin{cases} u_0=2 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2} \end{cases}
On admet que \forall n\in\mathbb{N},\ u_n\gt0. Montrer que la suite \left( u_n \right) est convergente.
Étudier la monotonie de la suite
On détermine si la suite est croissante ou décroissante.
Pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}-u_{n}=-\dfrac{u_n}{2}
Or, d'après l'énoncé :
\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\gt0
Ainsi, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}-u_{n}\leqslant0
Soit :
u_{n+1}\leqslant u_n
La suite \left(u_n\right) est donc décroissante.
Étudier la majoration ou minoration de la suite
- Si la suite est croissante, on détermine si elle est majorée.
- Si la suite est décroissante, on détermine si elle est minorée.
On sait que :
\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\gt0
La suite \left(u_n\right) est donc minorée par 0.
Conclure à l'aide des théorèmes de convergence monotone
On sait que :
- Si la suite est croissante et majorée, elle converge.
- Si la suite est décroissante et minorée, elle converge.
Par ailleurs :
- Si la suite est croissante et non majorée, elle diverge vers +\infty.
- Si la suite est décroissante et non minorée, elle diverge vers -\infty.
Cette méthode ne permet pas de conclure sur la valeur de la limite de la suite si celle-ci converge. Le majorant (ou le minorant) déterminé n'est pas nécessairement la limite.
La suite \left(u_n\right) étant décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente. On note l sa limite.