Utiliser l'expression conjuguée pour lever une indétermination Exercice

u_n=\sqrt{n^2+1}-n

u_n=\dfrac{\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)}{\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)}

Et, en reconnaissant l'identité remarquable \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2, on obtient :

u_n=\dfrac{n^2+1-n^2}{\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)}

u_n=\dfrac{1}{\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)}

• \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n^2+1}=+\infty
• \lim\limits_{n \to +\infty}n=+\infty

Par somme, on a \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n^2+1}+n=+\infty

Or \lim\limits_{N \to +\infty}\dfrac{1}{N}=0

Ainsi, par composée :

\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}=0

u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}-n}

u_n=\dfrac{\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)}{\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)}

Et, en reconnaissant l'identité remarquable \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2, on obtient :

u_n=\dfrac{\sqrt{n^2+1}+n}{n^2+1-n^2}

u_n=\sqrt{n^2+1}+n

• \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n^2+1}=+\infty
• \lim\limits_{n \to +\infty}n=+\infty

Par somme, on a \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n^2+1}+n=+\infty

u_n=\dfrac{1}{\sqrt{9n^2+1}-3n}

u_n=\dfrac{\left(\sqrt{9n^2+1}+3n\right)}{\left(\sqrt{9n^2+1}-3n\right)\left(\sqrt{9n^2+1}+3n\right)}

Et, en reconnaissant l'identité remarquable \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2, on obtient :

u_n=\dfrac{\sqrt{9n^2+1}+3n}{9n^2+1-9n^2}

u_n=\sqrt{9n^2+1}+3n

• \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{9n^2+1}=+\infty
• \lim\limits_{n \to +\infty}3n=+\infty

Par somme, on a \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{9n^2+1}+3n=+\infty

u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n^6+1}-n^3}

u_n=\dfrac{\left(\sqrt{n^6+1}+n^3\right)}{\left(\sqrt{n^6+1}-n^3\right)\left(\sqrt{n^6+1}+n^3\right)}

Et, en reconnaissant l'identité remarquable \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2, on obtient :

u_n=\dfrac{\sqrt{n^6+1}+n^3}{n^6+1-n^6}

u_n=\sqrt{n^6+1}+n^3

• \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n^6+1}=+\infty
• \lim\limits_{n \to +\infty}n^3=+\infty

Par somme, on a \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n^6+1}+n^3=+\infty

u_n=\sqrt{n^4+1}-n^2

u_n=\dfrac{\left(\sqrt{n^4+1}-n^2\right)\left(\sqrt{n^4+1}+n^2\right)}{\left(\sqrt{n^4+1}+n^2\right)}

Et, en reconnaissant l'identité remarquable \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2, on obtient :

u_n=\dfrac{n^4+1-n^4}{\left(\sqrt{n^4+1}+n^2\right)}

u_n=\dfrac{1}{\left(\sqrt{n^4+1}+n^2\right)}

• \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n^4+1}=+\infty
• \lim\limits_{n \to +\infty}n^2=+\infty

Par somme, on a \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n^4+1}+n^2=+\infty

Or \lim\limits_{N \to +\infty}\dfrac{1}{N}=0

Ainsi, par composée :

\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n^4+1}+n^2}=0

u_n=\sqrt{9n^4+1}-3n^2

u_n=\dfrac{\left(\sqrt{9n^4+1}-3n^2\right)\left(\sqrt{9n^4+1}+3n^2\right)}{\left(\sqrt{9n^4+1}+3n^2\right)}

Et, en reconnaissant l'identité remarquable \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2, on obtient :

u_n=\dfrac{9n^4+1-9n^4}{\left(\sqrt{9n^4+1}+3n^2\right)}

u_n=\dfrac{1}{\left(\sqrt{9n^4+1}+3n^2\right)}

• \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{9n^4+1}=+\infty
• \lim\limits_{n \to +\infty}3n^2=+\infty

Par somme, on a \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{9n^4+1}+3n^2=+\infty

Or \lim\limits_{N \to +\infty}\dfrac{1}{N}=0

Ainsi, par composée :

\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{9n^4+1}+3n^2}=0

u_n=2n-\sqrt{4n^2+2}

u_n=\dfrac{\left(2n-\sqrt{4n^2+2}\right)\left(2n+\sqrt{4n^2+2}\right)}{2n+\sqrt{4n^2+2}}

Et, en reconnaissant l'identité remarquable \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2, on obtient :

u_n=\dfrac{4n^2-4n^2-2}{2n+\sqrt{4n^2+2}}

u_n=\dfrac{-2}{2n+\sqrt{4n^2+2}}

• \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{4n^2+2}=+\infty
• \lim\limits_{n \to +\infty}2n=+\infty

Par somme, on a \lim\limits_{n \to +\infty}2n+\sqrt{4n^2+2}=+\infty

Or \lim\limits_{N \to +\infty}\dfrac{1}{N}=0

Ainsi, par composée :

\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{2n+\sqrt{4n^2+2}}=0

Finalement :

\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{-2}{2n+\sqrt{4n^2+2}}=0