On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=n^3+2n^2-n+3
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On est devant une forme indéterminée du type \infty-\infty.
Afin de lever cette indétermination, on transforme l'expression de u_n en factorisant par le terme de plus haut degré.
Transformation de l'expression
u_n=n^3+2n^2-n+3
u_n=n^3\left(1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{3}{n^3}\right)
Détermination de la limite
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^2}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^3}=0
Par somme, \lim\limits_{n \to +\infty}\left( 1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{3}{n^3} \right)=1
De plus, \lim\limits_{n \to +\infty}n^3=+\infty
Ainsi, par produit :
\lim\limits_{n \to +\infty}\left( n^3\left(1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{3}{n^3}\right) \right)=+\infty
\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=n^3+3n^2-5n+2
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On est devant une forme indéterminée du type \infty-\infty.
Afin de lever cette indétermination, on transforme l'expression de u_n en factorisant par le terme de plus haut degré.
Transformation de l'expression
u_n=n^3+3n^2-5n+2
u_n=n^3\left(1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{5}{n^2}+\dfrac{2}{n^3}\right)
Détermination de la limite
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^2}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^3}=0
Par somme, \lim\limits_{n \to +\infty}\left( 1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{5}{n^2}+\dfrac{2}{n^3} \right)=1
De plus, \lim\limits_{n \to +\infty}n^3=+\infty
Ainsi, par produit :
\lim\limits_{n \to +\infty}\left( n^3\left(1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{5}{n^2}+\dfrac{2}{n^3}\right) \right)=+\infty
\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=\dfrac{-n^3+2}{n+1}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On est devant une forme indéterminée du type \dfrac{\infty}{\infty}.
Afin de lever cette indétermination, on transforme l'expression de u_n en factorisant le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.
Transformation de l'expression
u_n=\dfrac{-n^3+2}{n+1}
u_n=\dfrac{-n^3\left(1-\dfrac{2}{n^3}\right)}{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}=-n^2\times\dfrac{1-\dfrac{2}{n^3}}{1+\dfrac{1}{n}}
Détermination de la limite
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}-\dfrac{2}{n^3}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
Par somme, \lim\limits_{n \to +\infty}\left( 1-\dfrac{2}{n^3}\right)=1, et \lim\limits_{n \to +\infty}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right)=1
Donc, par quotient, \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1-\dfrac{2}{n^3}}{1+\dfrac{1}{n}}=1
De plus, \lim\limits_{n \to +\infty}-n^2=-\infty
Ainsi, par produit :
\lim\limits_{n \to +\infty}-n^2\times\dfrac{1-\dfrac{2}{n^3}}{1+\dfrac{1}{n}}=-\infty
\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=-\infty
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=n^4+2n^3-5n+2
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On est devant une forme indéterminée du type \infty-\infty.
Afin de lever cette indétermination, on transforme l'expression de u_n en factorisant par le terme de plus haut degré.
Transformation de l'expression
u_n=n^4+2n^3-5n+2
u_n=n^4\left(1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{5}{n^3}+\dfrac{2}{n^4}\right)
Détermination de la limite
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^3}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^4}=0
Par somme, \lim\limits_{n \to +\infty}\left( 1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{5}{n^3}+\dfrac{2}{n^4} \right)=1
De plus, \lim\limits_{n \to +\infty}n^4=+\infty
Ainsi, par produit :
\lim\limits_{n \to +\infty}\left( n^4\left(1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{5}{n^3}+\dfrac{2}{n^4}\right) \right)=+\infty
\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=\dfrac{n^2+2}{n+1}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On est devant une forme indéterminée du type \dfrac{\infty}{\infty}.
Afin de lever cette indétermination, on transforme l'expression de u_n en factorisant le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.
Transformation de l'expression
u_n=\dfrac{n^2+2}{n+1}
u_n=\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{2}{n^2}\right)}{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}=n\times\dfrac{1+\dfrac{2}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}
Détermination de la limite
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{2}{n^2}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
Par somme, \lim\limits_{n \to +\infty}\left( 1+\dfrac{2}{n^2}\right)=1, et \lim\limits_{n \to +\infty}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right)=1
Donc, par quotient, \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1+\dfrac{2}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}=1
De plus, \lim\limits_{n \to +\infty}n=+\infty
Ainsi, par produit :
\lim\limits_{n \to +\infty}n\times\dfrac{1+\dfrac{2}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}=+\infty
\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=n^4-2n^2-n+3
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On est devant une forme indéterminée du type \infty-\infty.
Afin de lever cette indétermination, on transforme l'expression de u_n en factorisant par le terme de plus haut degré.
Transformation de l'expression
u_n=n^4-2n^2-n+3
u_n=n^4\left(1-\dfrac{2}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{3}{n^4}\right)
Détermination de la limite
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^2}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^3}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^4}=0
Par somme, \lim\limits_{n \to +\infty}\left(1-\dfrac{2}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{3}{n^4}\right)=1
De plus, \lim\limits_{n \to +\infty}n^4=+\infty
Ainsi, par produit :
\lim\limits_{n \to +\infty}n^4\left(1-\dfrac{2}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{3}{n^4}\right)=+\infty
\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=\dfrac{-n^2+4}{n+1}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On est devant une forme indéterminée du type \dfrac{\infty}{\infty}.
Afin de lever cette indétermination, on transforme l'expression de u_n en factorisant le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.
Transformation de l'expression
u_n=\dfrac{-n^2+4}{n+1}
u_n=\dfrac{-n^2\left(1-\dfrac{4}{n^2}\right)}{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}=-n\times\dfrac{1-\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}
Détermination de la limite
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}-\dfrac{4}{n^2}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
Par somme, \lim\limits_{n \to +\infty}\left( 1-\dfrac{4}{n^2}\right)=1, et \lim\limits_{n \to +\infty}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right)=1
Donc, par quotient, \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1-\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}=1
De plus, \lim\limits_{n \to +\infty}-n=-\infty
Ainsi, par produit :
\lim\limits_{n \to -\infty}-n\times\dfrac{1-\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}=-\infty
\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=-\infty