Soit n un entier naturel non nul.
Quelle est la valeur de la somme suivante ?
S=\sum_{k=1}^{n}3\left(-\dfrac{1}{2}\right)^k
On pose, pour tout entier naturel k non nul :
u_k=3\left(-\dfrac{1}{2}\right)^k
On reconnaît que la suite \left(u_k\right) est une suite géométrique de raison -\dfrac{1}{2} et de premier terme u_1=-\dfrac{3}{2}.
Donc :
S=\sum_{k=1}^{n}u_k=u_1\times\dfrac{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}
Soit :
S=-\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n}{\dfrac{3}{2}}
Finalement :
S=-1+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n
\left(u_n\right) est une suite géométrique de premier terme u_0=4 et de raison \dfrac{1}{2}.
Soit n un entier naturel.
Quelle est la valeur de la somme suivante ?
u_0+u_1+...+u_{n}
La suite \left(u_n\right) est géométrique de raison q=\dfrac{1}{2}, donc :
u_0+u_1+...+u_{n}=u_0\times\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}}
Ainsi :
u_0+u_1+...+u_{n}=2u_0\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)
Or :
u_0=4
D'où :
u_0+u_1+...+u_n=8\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)
\left(u_n\right) est une suite géométrique de premier terme u_0=3 et de raison \dfrac{2}{5}.
Soit n un entier naturel.
Quelle est la valeur de la somme suivante ?
u_0+u_1+...+u_{n}
La suite \left(u_n\right) est géométrique de raison q=\dfrac{2}{5}, donc :
u_0+u_1+...+u_{n}=u_0\times\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{2}{5}}
Ainsi :
u_0+u_1+...+u_{n}=\dfrac{5}{3}u_0\left(1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+1}\right)
Or :
u_0=3
On peut donc conclure :
u_0+u_1+...+u_n=5\left(1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+1}\right)
\left(u_n\right) est une suite géométrique de premier terme u_4=\dfrac{1}{4} et de raison 3.
Soit n un entier naturel plus grand que 4.
Quelle est la valeur de la somme suivante ?
u_4+u_5+...+u_{n}
La suite \left(u_n\right) est géométrique de raison q=3, donc :
u_4+u_5+...+u_{n}=u_4\times\dfrac{1-3^{n-4+1}}{1-3}
Ainsi :
u_4+u_5+...+u_{n}=-\dfrac{1}{2}u_4\left(1-3^{n-3}\right)
Or :
u_4=\dfrac{1}{4}
On peut donc conclure :
u_4+u_5+...+u_n=-\dfrac{1}{8}\left(1-3^{n-3}\right)=\dfrac{3^{n-3}-1}{8}
\left(u_n\right) est une suite géométrique de premier terme u_1=2 et de raison \dfrac{3}{2}.
Soit n un entier naturel non nul.
Quelle est la valeur de la somme suivante ?
u_1+u_2+...+u_{n}
La suite \left(u_n\right) est géométrique de raison q=\dfrac{3}{2}, donc :
u_1+u_2+...+u_{n}=u_1\times\dfrac{1-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}}{1-\dfrac{3}{2}}
Ainsi :
u_1+u_2+...+u_{n}=-2u_1\left(1-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}\right)
Or :
u_1=2
On peut donc conclure :
u_1+u_2+...+u_n=-4\left(1-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}\right)=4\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}-1\right)
Soit n un entier naturel.
Quelle est la valeur de la somme suivante ?
S=\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{3}{4}\right)^k
On pose, pour tout entier naturel k :
u_k=\left(\dfrac{3}{4}\right)^k
On reconnaît que la suite \left(u_k\right) est une suite géométrique de raison \dfrac{3}{4} et de premier terme u_0=1.
Donc :
S=\sum_{k=0}^{n}u_k=u_0\times\dfrac{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{3}{4}}
Soit :
S=1\times\dfrac{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{4}}
Finalement :
S=4\left(1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}\right)
Soit n un entier naturel non nul.
Quelle est la valeur de la somme suivante ?
S=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^k
On pose, pour tout entier naturel k non nul :
u_k=\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^k
On reconnaît que la suite \left(u_k\right) est une suite géométrique de raison -\dfrac{1}{6} et de premier terme u_1=-\dfrac{1}{24}.
Donc :
S=\sum_{k=1}^{n}u_k=u_1\times\dfrac{1-\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n}{1-\left(-\dfrac{1}{6}\right)}
Soit :
S=-\dfrac{1}{24}\times\dfrac{1-\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n}{\dfrac{7}{6}}=-\dfrac{1}{28}\times\left(1-\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n\right)
Finalement :
S=\dfrac{1}{28}\times\left(\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n-1\right)