Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, 7\times3^{5n}+4 est divisible par 11 ?
Montrons par récurrence que 7 \times3^{5n} +4 est divisible par 11.
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
7 \times3^{0} +4 = 7 \times1 +4 = 11
11 est bien divisible par 11.
La propriété est donc vraie au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que 7 \times3^{5\left(n+1\right)} +4 est divisible par 11.
Or d'après l'hypothèse de récurrence, 7 \times3^{5n} +4 est divisible par 11. Comme 7 \times3^{5n} +4 n'est pas nul, cela signifie qu'il existe un entier naturel non nul p tel que :
7 \times3^{5n} +4 = 11p
Alors on peut dérouler le raisonnement :
7 \times3^{5n+5} +4 = \left(7 \times3^{5n} \right) \times3^5 +4
7 \times3^{5n+5} +4 = \left(11p -4\right) \times3^5 +4
7 \times3^{5n+5} +4 = 11p \times3^5 - 4 \times 3^5 +4
7 \times3^{5n+5} +4 = 11p \times3^5 - 972 +4
7 \times3^{5n+5} +4 = 11p \times3^5 - 968
or 968 = 11 \times88
7 \times3^{5n+5} +4 = 11p \times3^5 - 11\times88
On factorise le membre de droite par 11 :
7 \times3^{5n+5} +4 = 11 \times\left(3^5p - 88\right)
Comme p est un entier naturel non nul et que 3^{5}=243, 3^5p-88 est un entier naturel.
En posant alors p{'}=3^5p-88, on obtient :
7 \times3^{5n+5} +4=11p' avec p'\in\mathbb{N}.
Ainsi, 7 \times3^{5n+5} +4 est bien divisible par 11. La propriété est héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 7 \times3^{5n} +4 est divisible par 11.
Pour tout entier naturel n, 7 \times3^{5n} +4 est divisible par 11.
Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, 4^n-1 est divisible par 3 ?
Montrons par récurrence que 4^n-1 est divisible par 3.
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=1.
4^1-1=4-1=3
3 est bien divisible par 3.
La propriété est donc vraie au rang n=1.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}^*. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que 4^{n+1}-1 est divisible par 3.
Or d'après l'hypothèse de récurrence, 4^n-1 est divisible par 3. Cela signifie qu'il existe un entier naturel p tel que :
4^n-1=3p
On multiplie cette égalité par 4. On obtient :
4\times\left(4^n-1\right)=12p
4\times4^n-4=12p
4^{n+1}-1-3=12p
4^{n+1}-1=12p+3
On factorise le membre de droite par 3 :
4^{n+1}-1=3\left(4p+1\right)
4^{n+1}-1=3p' avec p'\in\mathbb{N}.
Ainsi, 4^{n+1}-1 est bien divisible par 3. La propriété est héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel non nul n, 4^n-1 est divisible par 3.
Pour tout entier naturel non nul n, 4^n-1 est divisible par 3.
Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, 8^n-1 est divisible par 7 ?
Montrons par récurrence que 8^n-1 est divisible par 7.
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=1.
8^1-1=8-1=7
7 est bien divisible par 7.
La propriété est donc vraie au rang n=1.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}^*. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que 8^{n+1}-1 est divisible par 7.
Or d'après l'hypothèse de récurrence, 8^n-1 est divisible par 7. Cela signifie qu'il existe un entier naturel p tel que :
8^n-1=7p
On multiplie cette égalité par 8. On obtient :
8\times\left(8^n-1\right)=56p
8^{n+1}-8=56p
8^{n+1}-1-7 = 56p
8^{n+1}-1= 56p + 7
On factorise le membre de droite par 7 :
8^{n+1}-1=7\left(8p+1\right)
8^{n+1}-1=7p' avec p'\in\mathbb{N}.
Ainsi, 8^{n+1}-1 est bien divisible par 7. La propriété est héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel non nul n, 8^n-1 est divisible par 7.
Pour tout entier naturel non nul n, 8^n-1 est divisible par 7.
Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, 3^{2n} -1 est divisible par 4 ?
Montrons par récurrence que 3^{2n}-1 est divisible par 4.
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=1.
3^2-1= 9-1=8\\
8 est bien divisible par 4.
La propriété est donc vraie au rang n=1.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}^*. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que 3^{2\left(n+1\right)}-1 est divisible par 4.
Or d'après l'hypothèse de récurrence, 3^{2n}-1 est divisible par 4. Cela signifie qu'il existe un entier naturel p tel que :
3^{2n}-1=4p
On a :
3^{2\left(n+1\right)}-1 = 3^{2n+2} -1
3^{2\left(n+1\right)}-1 = 3^{2n}\times 3^2-1
Et, d'après l'hypothèse de récurrence :
3^{2\left(n+1\right)}-1= \left(4p + 1\right) \times3^2 -1
3^{2\left(n+1\right)}-1= 4p \times9 + 9 -1
3^{2\left(n+1\right)}-1= 4p \times9 + 8
3^{2\left(n+1\right)}-1= 4\left(9p+ 2\right)
Et, en posant p'=9p+2, on obtient :
3^{2\left(n+1\right)}-1 = 4p' avec p'\in\mathbb{N}.
Ainsi, 3^{2\left(n+1\right)}-1 est bien divisible par 4. La propriété est héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel non nul n, 3^{2n}-1 est divisible par 4.
Pour tout entier naturel non nul n, 3^{2n}-1\\ est divisible par 4.
Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, 3^{2n} -2^n est divisible par 7 ?
Montrons par récurrence que 3^{2n}-2^n est divisible par 7.
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=1.
3^{2}-2^1=9-2=7
7 est bien divisible par 7.
La propriété est donc vraie au rang n=1.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}^*. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que 3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} est divisible par 7.
Or d'après l'hypothèse de récurrence, 3^{2n}-2^n est divisible par 7. Cela signifie qu'il existe un entier naturel p tel que :
3^{2n}-2^n=7p
On a :
3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} = 3^{2n+2} -2^{n+1}\\
3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} = 3^{2n}\times 3^2-2^{n+1}
3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} = 3^{2n}\times3^2-2^n\times2^1
3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} = 3^{2n}\times9-2^n\times\left(9-7\right)
3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} = 9\left(3^{2n}-2^n\right)+7\times2^n
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, 3^{2n}-2^n=7p, d'où :
3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} = 7p \times9 + 2^n \times 7
3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} = 7 \times \left(9p+ 2^n\right)
Et, en posant p'=9p+2^n, on a :
3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} = 7 \times p' avec p'\in\mathbb{N}.
Ainsi, 3^{2\left(n+1\right)}-2^{n+1} est bien divisible par 7. La propriété est héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel non nul n, 3^{2n}-2^n est divisible par 7.
Pour tout entier naturel non nul n, 3^{2n}-2^n est divisible par 7.