Centres étrangers, 2013
L'objet de cet exercice est l'étude de la suite \left(u_{n}\right) définie par son premier terme u_{1}=\dfrac{3}{2} et la relation de récurrence : u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}.
Pour calculer et afficher le terme u_{9} de la suite, un élève propose l'algorithme ci-dessous. Il a oublié de compléter deux lignes.
Comment compléter les deux lignes remplacées par des points de suspension ?
Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de u_{2} jusqu'à u_{9} ?
Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième :
Au vu de ces résultats, que dire du sens de variation et la convergence de la suite \left(u_{n}\right) ?
On définit une suite auxiliaire \left(v_{n}\right) par : pour tout entier n\geqslant 1, v _{n} = nu_{n} -1.
On admet que la suite \left(v_{n}\right) est géométrique.
Quelle est sa raison et quel est son premier terme ?
On admet que, pour tout entier naturel n\geqslant 1, on a : u_{n}= \dfrac{1 + (0{,}5)^{n}}{n}.
Quelle est la limite de la suite \left(u_{n}\right) ?
On admet que, pour tout entier n\geqslant 1 , on a : u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0{,}5n)(0{,}5)^{n}}{n(n + 1)}.
Quel est le sens de variation de la suite \left(u_{n}\right) ?
En s'inspirant de la partie A, quel algorithme permet de déterminer et d'afficher le plus petit entier n tel que u_{n} < 0{,}001 ?