Soit (u_n) la suite définie par son premier terme u_0 et, pour tout entier naturel n, par la relation u_{n+1} = au_{n} + b ( a et b réels non nuls tels que a ≠ 1 ). On considère la suite v_n définie pour tout entier naturel n par la relation v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}.
Quelle est la nature de la suite (v_n) ?
On a pour tout naturel n, v_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac{b}{1-a} = au_{n}+b-\dfrac{b}{1-a}\\v_{n+1}= au_{n}+\dfrac{b\left(1 - a\right)-b}{1-a}\\v_{n+1}= au_{n}-\dfrac{ab}{1-a}\\\\v_{n+1}= a\left[ u_{n}-\dfrac{b}{1-a} \right]\\v_{n+1} = av_{n}
L'égalité v_{n+1} = av_{n}, vraie pour tout naturel n montre que la suite (v_n) est géométrique de raison a.
si a appartient à l'intervalle \left] -1 ; 1\right[, quelle est alors la limite de la suite (u_n) ?
On sait que v_n = v_0×a^{n}.
Or si a∈]-1 ; 1[, \lim\limits_{n\to +\infty}a_{}^{n}=0
Donc \lim\limits_{n\to +\infty}v_{n}=0
ou \lim\limits_{n\to +\infty}\left(u_{n}-\dfrac{b}{1-a}\right)=0
C'est-à-dire \lim\limits_{n\to +\infty}u_{n}=\dfrac{b}{1-a}.
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.
Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.
Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
Après la taille initiale, la plante mesure 80\times\left( 1-\dfrac{1}{4} \right) = 80\times\dfrac{3}{4} = 60 \text{ cm}.
Au bout de 1 an elle a poussé de 30 cm.
Elle mesurera donc en mars 2016 avant la taille 60 + 30 = 90 \text{ cm}.