Sommaire
1Identifier la propriété à démontrer 2Écrire l'initialisation 3Écrire l'hérédité 4Écrire la conclusionPour démontrer des propriétés sur les suites, en particulier sur les suites définies par récurrence, on est parfois conduit à utiliser la démonstration par récurrence. Si une propriété est vraie à un premier rang noté n_0 et est héréditaire, alors elle est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n_0.
Soit \left(u_n\right) la suite définie par son premier terme u_0=1 et pour tout entier naturel n par :
u_{n+1}=u_n^2+\dfrac{1}{2}
Montrer que l'on a, pour tout entier n, u_n \geqslant 1.
Identifier la propriété à démontrer
On précise que l'on va démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n (ou pour tout entier n\geqslant n_0 ), une propriété P\left( n \right) est vraie.
On montre par récurrence que pour tout entier naturel n, on a u_n\geqslant 1.
Écrire l'initialisation
On démontre que la propriété est vérifiée au premier rang demandé (en général il s'agit du rang n=0 ).
Comme u_0=1, on a bien :
u_0\geqslant 1
La propriété est initialisée.
Écrire l'hérédité
On fixe un entier naturel n quelconque. On suppose la propriété vraie à ce rang n. On montre alors que la propriété est vraie au rang n+1. Pour cela, on utilise :
- L'hypothèse de récurrence : on a supposé P\left( n \right) vraie.
- Une relation de récurrence : lorsqu'une suite est définie par récurrence, il existe un lien entre l'expression du rang n+1 de la suite et celle du rang n.
Soit n un entier naturel, on suppose que u_n\geqslant 1. On montre alors que u_{n+1}\geqslant 1.
La relation de récurrence est la suivante :
u_{n+1}=u_n^2+\dfrac12
Or, on a :
u_n\geqslant1
Donc :
u_n^2\geqslant 1
Et, comme \dfrac12 \geqslant 0 :
u_n^2+\dfrac12\geqslant 1+0
Donc :
u_{n+1}\geqslant1
La propriété est héréditaire.
Écrire la conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n (éventuellement n\geqslant n_0 en fonction du rang de l'initialisation).
La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
Ainsi, pour tout entier naturel n : u_n\geqslant 1.