Etudier une suite récurrente Exercice type bac

u_{1}=\dfrac{5}{8}

u_{1}=\dfrac{123}{256}

u_{1}=\dfrac{3}{8}

u_{1}=\dfrac{3}{4}

La fonction g est continue sur \left[0{,}1\right] car c'est la restriction d'une fonction polynomiale.

De plus, g\left(0\right)=\dfrac{0^3}{4}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{8} et g\left(1\right)=\dfrac{1^3}{4}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}.

\dfrac{3}{8}\leqslant\dfrac{5}{8} donc g\left(0\right)\leqslant g\left(1\right).

Donc g est croissante sur \left[0;1\right].

La fonction g est bien dérivable sur \left[0;1\right] car c'est la restriction d'une fonction polynomiale.

On a pour tout x réel de \left[0;1\right], g'\left(x\right)=\cfrac{3}{4}x^2

Or, g' est croissante sur \left[0;1\right] car elle est de la forme g'\left(x\right)=k x^2 avec k\geqslant 0 et la fonction carrée est croissante sur \left[0;1\right].

La fonction g est dérivable sur \left[0;1\right] et sa dérivée est croissante sur cet intervalle, donc g est croissante sur \left[0;1\right].

La fonction g est bien dérivable sur \left[0;1\right] car c'est la restriction d'une fonction polynomiale.

On a pour tout x réel de \left[0;1\right], g'\left(x\right)=\cfrac{3}{4}x^2

Or, pour tout x réel de \left[0;1\right], \cfrac{3}{4}x^2\geq 0.

Donc pour tout x réel de \left[0;1\right], g'\left(x\right)\geq 0.

La fonction g est dérivable sur \left[0;1\right] et sa dérivée est toujours positive sur cet intervalle, elle est donc croissante sur \left[0;1\right].

Pour tout x réel de \left[0;1\right],

x^3\geqslant0\\donc\ \dfrac{x^3}{4}\geqslant0\ car\ 4 \geqslant0\\donc\ \dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}\geqslant0\\

Donc pour tout x réel de \left[0;1\right], g\left(x\right)\geqslant0.

La fonction g est toujours positive sur \left[0;1\right], elle donc croissante sur \left[0;1\right].

1) Initialisation : 0 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 1.

2) Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, on suppose que 0 \leqslant u_{k} \leqslant u_{k+1} \leqslant 1. Comme g est croissante sur \left[0{,}1\right], g\left(0\right) \leqslant g\left(u_{k}\right) \leqslant g\left(u_{k+1}\right) \leqslant g\left(1\right), donc 0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 1.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

1) Initialisation : 0 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 1.

2) Hérédité : On suppose que pour tout k\in\mathbb{N}, 0 \leqslant u_{k} \leqslant u_{k+1} \leqslant 1. Comme g est croissante sur \left[0{,}1\right], g\left(0\right) \leqslant g\left(u_{k}\right) \leqslant g\left(u_{k+1}\right) \leqslant g\left(1\right), donc 0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 1.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

1) Initialisation : 0 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 1.

2) Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, on suppose que 0 \leqslant u_{k} \leqslant u_{k+1} \leqslant 1. Comme g est continue sur \left[0{,}1\right], 0 \leqslant g\left(u_{k}\right) \leqslant g\left(u_{k+1}\right) \leqslant 1, donc 0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 1.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

1) Initialisation : 0 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 1.

2) Hérédité : On suppose que pour tout k\in\mathbb{N}, 0 \leqslant u_{k} \leqslant u_{k+1} \leqslant 1. Comme g est croissante sur \left[0{,}1\right], 0 \leqslant g\left(u_{k}\right) \leqslant g\left(u_{k+1}\right) \leqslant 1, donc 0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 1.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

On utilise les résultats précédemment établis :

• la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est croissante ;
• la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est minorée ;

On en déduit que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est convergente.On appelle l sa limite.

Par passage aux limites, on a l=g\left(l\right) et l\in\left[0;1\right]. Or l'énoncé indique que a est la seule solution de l'équation x=g\left(x\right) sur \left[0{,}1\right], donc l=a.

On utilise les résultats précédemment établis :

• la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est croissante ;
• la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est majorée ;

On en déduit que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est convergente.On appelle l sa limite.

Par passage aux limites, on a l=g\left(l\right) et l\in\left[0;1\right]. Or l'énoncé indique que a est la seule solution de l'équation x=g\left(x\right) sur \left[0{,}1\right], donc l=a.

On utilise les résultats précédemment établis :

• la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est croissante ;
• la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est minorée ;

On en déduit que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est convergente.On appelle l sa limite.

Par passage aux limites, on a l+1=g\left(l\right) et l\in\left[0;1\right]. Or on a vu que a=g\left(a\right), donc l=a-1.

On utilise les résultats précédemment établis :

• la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est croissante ;
• la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est majorée ;

On en déduit que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est convergente.On appelle l sa limite.

Par passage aux limites, on a l+1=g\left(l\right) et l\in\left[0;1\right]. Or on a vu que a=g\left(a\right), donc l=a-1.

u_{10} = 0{,}389807837

u_{10}=0{,}38980784

u_{10}=0{,}389807840119828

u_{10}=0{,}389807839762227