Etudier une suite récurrenteExercice type bac

Soient f une fonction définie sur l'intervalle \left[0 ; 1\right], continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que 0 \lt a \lt 1.

On note :

C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal
A₁ l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe C d'une part, les droites d'équations x = 0 et x = a d'autre part.
A₂ l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe C d'une part, les droites d'équations x = a et x = 1 d'autre part.

Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : "Les aires A₁ et A₂ sont égales".

On admet l'existence d'un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.

Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de \left[ 0;1 \right] par f\left(x\right) = 4 - 3x^{2}.

Quelle proposition démontre que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l'équation suivante ?

x = \dfrac{x^{3}}{4}+\dfrac {3}{8}

Comme f est continue et positive sur \left[0{,}1\right], et

F:x\longmapsto 4x-x^3 est une primitive de f sur \left[0{,}1\right]

Alors \mathcal{A_1}=\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx=\left[ 4x-x^3 \right]_0^a=4a-a^3 et \mathcal{A_2}=\int_{a}^{1}f\left(x\right)dx=\left[ 4x-x^3 \right]_a^1=3-\left(4a-a^3\right)

Or si a=\dfrac{a^3}{4}+\dfrac{3}{8}, \mathcal{A_1}=3/2 et \mathcal{A_2}=3/2, donc on a bien \mathcal{A_1}=\mathcal{A_2}.

Comme f est continue et positive sur \left[0{,}1\right], et

F:x\longmapsto 4x-x^3 est une primitive de f sur \left[0{,}1\right]

Alors si \mathcal{A_1}=\mathcal{A_2} on a F\left(a\right)=F\left(1\right).

En faisant le calcul, on trouve qu'alors a=\dfrac{a^3}{4}+\dfrac{3}{8}.

Donc si \mathcal{A_1}=\mathcal{A_2}, a est solution de x=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}.

Comme f est continue et positive sur \left[0{,}1\right], et

F:x\longmapsto 4x-x^3 est une primitive de f sur \left[0{,}1\right]

Alors si \mathcal{A_1}=\mathcal{A_2} on a F\left(a\right)-F\left(0\right)=F\left(1\right)-F\left(a\right)

En faisant le calcul, on trouve qu'alors a=\dfrac{a^3}{4}+\dfrac{3}{8}.

Donc si \mathcal{A_1}=\mathcal{A_2}, a est solution de x=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}.

Comme f est continue et positive sur \left[0{,}1\right] et

F:x\longmapsto 4x-x^3 est une primitive de f sur \left[0{,}1\right]

Alors si \mathcal{A_1}=\mathcal{A_2} on a 4\left(a-0\right)-\left(a-0\right)^3=4\left(1-a\right)-\left(1-a\right)^3

En faisant le calcul, on trouve qu'alors a=\dfrac{a^3}{4}+\dfrac{3}{8}.

Donc si \mathcal{A_1}=\mathcal{A_2}, a est solution de x=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}.

On considère la fonction g définie pour tout réel x de l'intervalle \left[ 0;1 \right] par g\left(x\right) = \dfrac{x^{3}}{4}+\dfrac {3}{8} et la suite \left(u_n\right) définie par : \begin{cases} u_0=0\\ u_{n+1}=g\left(u_n\right), \forall n\in\mathbb{N} \end{cases}

Quelle est la valeur de u_1 ?

u_{1}=\dfrac{5}{8}

u_{1}=\dfrac{123}{256}

u_{1}=\dfrac{3}{8}

u_{1}=\dfrac{3}{4}

Quelle proposition démontre que la fonction g est croissante sur l'intervalle \left[ 0;1 \right] ?

La fonction g est continue sur \left[0{,}1\right] car c'est la restriction d'une fonction polynomiale.

De plus, g\left(0\right)=\dfrac{0^3}{4}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{8} et g\left(1\right)=\dfrac{1^3}{4}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}.

\dfrac{3}{8}\leqslant\dfrac{5}{8} donc g\left(0\right)\leqslant g\left(1\right).

Donc g est croissante sur \left[0;1\right].

La fonction g est bien dérivable sur \left[0;1\right] car c'est la restriction d'une fonction polynomiale.

On a pour tout x réel de \left[0;1\right], g'\left(x\right)=\cfrac{3}{4}x^2

Or, g' est croissante sur \left[0;1\right] car elle est de la forme g'\left(x\right)=k x^2 avec k\geqslant 0 et la fonction carrée est croissante sur \left[0;1\right].

La fonction g est dérivable sur \left[0;1\right] et sa dérivée est croissante sur cet intervalle, donc g est croissante sur \left[0;1\right].

La fonction g est bien dérivable sur \left[0;1\right] car c'est la restriction d'une fonction polynomiale.

On a pour tout x réel de \left[0;1\right], g'\left(x\right)=\cfrac{3}{4}x^2

Or, pour tout x réel de \left[0;1\right], \cfrac{3}{4}x^2\geq 0.

Donc pour tout x réel de \left[0;1\right], g'\left(x\right)\geq 0.

La fonction g est dérivable sur \left[0;1\right] et sa dérivée est toujours positive sur cet intervalle, elle est donc croissante sur \left[0;1\right].

Pour tout x réel de \left[0;1\right],

x^3\geqslant0\\donc\ \dfrac{x^3}{4}\geqslant0\ car\ 4 \geqslant0\\donc\ \dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}\geqslant0\\

Donc pour tout x réel de \left[0;1\right], g\left(x\right)\geqslant0.

La fonction g est toujours positive sur \left[0;1\right], elle donc croissante sur \left[0;1\right].

Quelle proposition démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 ?

1) Initialisation : 0 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 1.

2) Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, on suppose que 0 \leqslant u_{k} \leqslant u_{k+1} \leqslant 1. Comme g est croissante sur \left[0{,}1\right], g\left(0\right) \leqslant g\left(u_{k}\right) \leqslant g\left(u_{k+1}\right) \leqslant g\left(1\right), donc 0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 1.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

1) Initialisation : 0 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 1.

2) Hérédité : On suppose que pour tout k\in\mathbb{N}, 0 \leqslant u_{k} \leqslant u_{k+1} \leqslant 1. Comme g est croissante sur \left[0{,}1\right], g\left(0\right) \leqslant g\left(u_{k}\right) \leqslant g\left(u_{k+1}\right) \leqslant g\left(1\right), donc 0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 1.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

1) Initialisation : 0 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 1.

2) Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, on suppose que 0 \leqslant u_{k} \leqslant u_{k+1} \leqslant 1. Comme g est continue sur \left[0{,}1\right], 0 \leqslant g\left(u_{k}\right) \leqslant g\left(u_{k+1}\right) \leqslant 1, donc 0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 1.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

1) Initialisation : 0 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 1.

2) Hérédité : On suppose que pour tout k\in\mathbb{N}, 0 \leqslant u_{k} \leqslant u_{k+1} \leqslant 1. Comme g est croissante sur \left[0{,}1\right], 0 \leqslant g\left(u_{k}\right) \leqslant g\left(u_{k+1}\right) \leqslant 1, donc 0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 1.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Quelle proposition démontre que la suite \left(u_n\right) est convergente et que sa limite est égale à a ?

On utilise les résultats précédemment établis :

la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est croissante ;
la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est minorée ;

On en déduit que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est convergente.On appelle l sa limite.

Par passage aux limites, on a l=g\left(l\right) et l\in\left[0;1\right]. Or l'énoncé indique que a est la seule solution de l'équation x=g\left(x\right) sur \left[0{,}1\right], donc l=a.

On utilise les résultats précédemment établis :

la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est croissante ;
la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est majorée ;

On en déduit que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est convergente.On appelle l sa limite.

Par passage aux limites, on a l=g\left(l\right) et l\in\left[0;1\right]. Or l'énoncé indique que a est la seule solution de l'équation x=g\left(x\right) sur \left[0{,}1\right], donc l=a.

On utilise les résultats précédemment établis :

la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est croissante ;
la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est minorée ;

On en déduit que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est convergente.On appelle l sa limite.

Par passage aux limites, on a l+1=g\left(l\right) et l\in\left[0;1\right]. Or on a vu que a=g\left(a\right), donc l=a-1.

On utilise les résultats précédemment établis :

la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est croissante ;
la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est majorée ;

On en déduit que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est convergente.On appelle l sa limite.

Par passage aux limites, on a l+1=g\left(l\right) et l\in\left[0;1\right]. Or on a vu que a=g\left(a\right), donc l=a-1.

On admet que le réel a vérifie l'inégalité 0 \lt a-u_{10} \lt 10^{-9}.

Quelle est la valeur de u_{10} à 10^{-8} près ?

u_{10} = 0{,}389807837

u_{10}=0{,}38980784

u_{10}=0{,}389807840119828

u_{10}=0{,}389807839762227