On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=4 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\dfrac{2u_n-1}{u_n} \end{cases}
On admet que \left(u_n\right) est une suite à termes positifs.
Quelle est la monotonie de \left(u_n\right) ?
Pour déterminer la monotonie de \left(u_n\right), on étudie le signe de u_{n+1}-u_n.
Calcul de u_{n+1}-u_n
Pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n-1}{u_n}-u_n
u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n-1-u_n^2}{u_n}
u_{n+1}-u_n=\dfrac{-\left(u_n^2-2u_n+1\right)}{u_n}
Et, en reconnaissant une identité remarquable :
u_{n+1}-u_n=\dfrac{-\left(u_n-1\right)^2}{u_n}
Signe de u_{n+1}-u_n
Or, on a :
- \forall n\in\mathbb{N},u_n\gt0 d'après l'énoncé
- \forall n\in\mathbb{N},\left(u_n-1\right)^2\gt0 donc \forall n\in\mathbb{N},-\left(u_n-1\right)^2\lt0
Ainsi :
\forall n\in\mathbb{N}, \dfrac{-\left(u_n-1\right)^2}{u_n}\lt0
Finalement :
\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\lt0
\left(u_n\right) est décroissante.
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=2 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{2} \end{cases}
On admet que \left(u_n\right) est une suite à termes toujours supérieurs à 1.
Quelle est la monotonie de \left(u_n\right) ?
Pour déterminer la monotonie de \left(u_n\right), on étudie le signe de u_{n+1}-u_n.
Calcul de u_{n+1}-u_n
Pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+1}{2}-u_n
u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+1-2u_n}{2}
u_{n+1}-u_n=\dfrac{1-u_n}{2}
Signe de u_{n+1}-u_n
D'après l'énoncé:
\forall n\in\mathbb{N^*}, u_n\geqslant1
Donc \dfrac{1-u_n}{2}\leqslant0
\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\leqslant0
\left(u_n\right) est décroissante.
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n\in\mathbb{N^*}, u_n=\sum_{k=1}^{n}k
Quelle est la monotonie de \left(u_n\right) ?
Pour déterminer la monotonie de \left(u_n\right), on étudie le signe de u_{n+1}-u_n.
Calcul de u_{n+1}-u_n
Pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}-u_n=\sum_{k=1}^{n+1}k-\sum_{k=1}^{n}k
u_{n+1}-u_n=\sum_{k=1}^{n}k+\left(n+1\right)-\sum_{k=1}^{n}k
u_{n+1}-u_n=n+1
Signe de u_{n+1}-u_n
Or \forall n\in\mathbb{N^*}, n+1\gt0
Donc \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\gt0
\left(u_n\right) est croissante.
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=2\left( \dfrac{1}{4} \right)^n-1
Quelle est la monotonie de \left(u_n\right) ?
Pour déterminer la monotonie de \left(u_n\right), on étudie le signe de u_{n+1}-u_n.
Calcul de u_{n+1}-u_n
Pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}-u_n=2\left( \dfrac{1}{4} \right)^\text{n+1}-1-2\left( \dfrac{1}{4} \right)^n+1
u_{n+1}-u_n=2\left( \dfrac{1}{4} \right)^\text{n}\times\dfrac{1}{4}-2\left( \dfrac{1}{4} \right)^n
u_{n+1}-u_n=2\left( \dfrac{1}{4} \right)^n\times\left( \dfrac{1}{4}-1 \right)
u_{n+1}-u_n=2\left( \dfrac{1}{4} \right)^n\times\left( -\dfrac{3}{4} \right)=-\dfrac{3}{2}\left( \dfrac{1}{4} \right)^n
Signe de u_{n+1}-u_n
Or \forall n\in\mathbb{N^*}, -\dfrac{3}{2}\left( \dfrac{1}{4} \right)^n\lt0
Donc \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\lt0
\left(u_n\right) est décroissante.
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\dfrac{\left(u_n\right)^2+1}{u_n} \end{cases}
On admet que \left(u_n\right) est une suite à termes toujours supérieurs à 0.
Quelle est la monotonie de \left(u_n\right) ?
Pour déterminer la monotonie de \left(u_n\right), on étudie le signe de u_{n+1}-u_n.
Calcul de u_{n+1}-u_n
Pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(u_n\right)^2+1}{u_n}-u_n
u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(u_n\right)^2+1-\left(u_n\right)^2}{u_n}
u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{u_n}
Signe de u_{n+1}-u_n
Or, on a \forall n\in\mathbb{N},u_n\gt0 d'après l'énoncé
Ainsi :
\forall n\in\mathbb{N}, \dfrac{1}{u_n}\gt0
Finalement :
\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\gt0
\left(u_n\right) est croissante.
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n\in\mathbb{N^*}, u_n=\sum_{k=1}^{n}2^k
Quelle est la monotonie de \left(u_n\right) ?
Pour déterminer la monotonie de \left(u_n\right), on étudie le signe de u_{n+1}-u_n.
Calcul de u_{n+1}-u_n
Pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}-u_n=\sum_{k=1}^{n+1}2^k-\sum_{k=1}^{n}2^k
u_{n+1}-u_n=\sum_{k=1}^{n}2^k+2^\text{n+1}-\sum_{k=1}^{n}2^k
u_{n+1}-u_n=2^\text{n+1}
Signe de u_{n+1}-u_n
Or \forall n\in\mathbb{N^*}, 2^\text{n+1}\gt0
Donc \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\gt0
\left(u_n\right) est croissante.
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=4\left( \dfrac{1}{3} \right)^n+2
Quelle est la monotonie de \left(u_n\right) ?
Pour déterminer la monotonie de \left(u_n\right), on étudie le signe de u_{n+1}-u_n.
Calcul de u_{n+1}-u_n
Pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}-u_n=4\left( \dfrac{1}{3} \right)^\text{n+1}+2-4\left( \dfrac{1}{3} \right)^n-2
u_{n+1}-u_n=4\left( \dfrac{1}{3} \right)^\text{n}\times\dfrac{1}{3}-4\left( \dfrac{1}{3} \right)^n
u_{n+1}-u_n=4\left( \dfrac{1}{3} \right)^n\times\left( \dfrac{1}{3}-1 \right)
u_{n+1}-u_n=4\left( \dfrac{1}{3} \right)^n\times\left( -\dfrac{2}{3} \right)=-\dfrac{8}{3}\left( \dfrac{1}{3} \right)^n
Signe de u_{n+1}-u_n
Or \forall n\in\mathbb{N}, -\dfrac{8}{3}\left( \dfrac{1}{3} \right)^n\lt0
Donc \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\lt0
\left(u_n\right) est décroissante.