Résoudre une équation trigonométrique du type cos(a)=cos(b) Exercice

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Dernière modification : 29/10/2018 - Conforme au programme 2018-2019

Quelle est la solution de l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} ?

\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)= \cos \left(-x\right)

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

D'après le cours, on sait que :

\cos\left( a\right) =\cos\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant b =-x, on obtient :

\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)= \cos \left(-x\right)\Leftrightarrow\begin{cases} x+\dfrac{\pi}{3}=-x+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x+\dfrac{\pi}{3}=x+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases} 2x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 0=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr Pas \; \; de \;\; solution \end{cases}

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}.

Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?

\cos\left(-2x+\dfrac{\pi}{3}\right) =0

S = \left\{-\dfrac{5\pi}{12}+k\pi, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{5\pi}{12}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{-\dfrac{\pi}{12}+k\pi, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{5\pi}{12}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{-\dfrac{\pi}{12}+k\pi, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{3\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{-\dfrac{\pi}{12}+k\pi, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{\pi}{12}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?

\cos\left(x+3\right) =1

S = \left\{-3+k2\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{- 3+k2\pi, k\in\mathbb{Z}; 3+k2\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{-2+k2\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{\pi-3+k2\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?

\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{8}\right) =\dfrac{\sqrt2}{2}

S = \left\{-\dfrac{\pi}{24}+k\pi, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{3\pi}{8}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{-\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{2\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{\pi}{24}+k\dfrac{2\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\right\}

S = \left\{-\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{2\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{2\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\right\}

S = \left\{-\dfrac{5\pi}{8}+k\dfrac{2\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{3\pi}{8}+k\dfrac{2\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\right\}

Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?

\cos\left(x\right) =\dfrac{\sqrt3}{2}

S = \left\{- \dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{- \dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{\pi}{6}+k2\pi , k\in\mathbb{Z}\right\}

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{5\pi}{6}+k2\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?

\cos\left(2 x\right) =-\dfrac{\sqrt2}{2}

S = \left\{ -\dfrac{3\pi}{8}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{3\pi}{8}+k2\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{8}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{3\pi}{8}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{3\pi}{8}+k\pi, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{3\pi}{8}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{3\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}; \dfrac{\pi}{8}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}