Résoudre une équation trigonométrique faisant intervenir cos et sin Exercice

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Dernière modification : 01/12/2019 - Conforme au programme 2018-2019

Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?

\sin\left( x\right) =\cos \left(2x\right)

S = \left\{- \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{2\pi}{3}; -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k2\pi; \dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \right\}

S = \left\{- \dfrac{\pi}{6}+k2\pi; -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \right\}

S = \left\{- \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{2\pi}{3} \right\}

Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?

\sin\left( x-\dfrac{\pi}{3}\right) =\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{2\pi}{3}; \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{2\pi}{3} \right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k2\pi; -\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi \right\}

S = \left\{ -\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi;\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{2\pi}{3} \right\}

S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{2\pi}{3}; \dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \right\}

Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?

\cos \left(2x\right) - \sin\left( \dfrac{\pi}{6}\right) =0

S = \left\{- \dfrac{\pi}{6}+k\pi; \dfrac{\pi}{6}+k\pi\right\}

S = \left\{ -\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi;\dfrac{\pi}{6}+k2\pi \right\}

S = \left\{- \dfrac{\pi}{6}+k2\pi; \dfrac{\pi}{6}+k2\pi\right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k2\pi; \dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\right\}

Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?

\sin \left(x+2\right) = \cos \left(x+1\right)

S = \left\{ -\dfrac{3}{2}+\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right\}

S = \left\{ -\dfrac{3}{2}+\dfrac{\pi}{4}+k\pi; \dfrac{3}{2}+\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right\}

S = \left\{ -\dfrac{3}{2}+\dfrac{\pi}{4}+k2\pi; \dfrac{3}{2}+\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\right\}

S = \left\{ \dfrac{3}{2}+\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\right\}

Quelles sont les solutions sur \mathbb{R} de l'équation trigonométrique suivante ?

\sin \left(3x\right) = \cos \left(x+1\right)

S = \left\{ \dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}+k2\pi; \dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{8}+k2\pi; \dfrac{\pi}{4}+k2\pi\right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}+k\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right\}

S = \left\{ \dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}+k\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{1}{4}+\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\right\}

Résoudre l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} :

\sin\left(10x+12\right)= \cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)

S = \left\{\dfrac{12}{11}+k\dfrac{2\pi}{11} ; \dfrac{\pi-19}{9}+k\dfrac{2\pi}{9},\right\}

S = \left\{-\dfrac{12}{11}+k\dfrac{2\pi}{11} ; -\dfrac{\pi-12}{9}+k\dfrac{2\pi}{9},\right\}

S = \left\{-\dfrac{13}{11}+k\dfrac{2\pi}{11} ; -\dfrac{\pi-12}{4}+k\dfrac{2\pi}{8},\right\}

S = \left\{-\dfrac{1}{11}-k\dfrac{2\pi}{1} ; -\dfrac{\pi-12}{9}-k\dfrac{2\pi}{19},\right\}

D'après le cours, on sait que :

\cos\left(a\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)

On en déduit ici que \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}-x\right)= \sin\left(-x\right).

L'équation \sin\left(10x+12\right)= \cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) devient ainsi :

\sin\left(10x+12\right)= \sin \left(-x\right)

D'après le cours, on sait que :

\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a =10x+12 et b =-x, on obtient :

\sin\left(10x+12\right)= \cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow\begin{cases} 10x+12 =-x+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 10x+12=\pi +x+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases} 11x=-12+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 9x=\pi -12+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases}x=-\dfrac{12}{11}+k\dfrac{2\pi}{11}, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{\pi -12}{9}+k\dfrac{2\pi}{9}, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

S = \left\{-\dfrac{12}{11}+k\dfrac{2\pi}{11} ; -\dfrac{\pi-12}{9}+k\dfrac{2\pi}{9},\right\}