On considère l'inéquation trigonométrique suivante :
\cos\left(x\right) \lt -\dfrac{1}{2}
Quel est l'ensemble S_1 des solutions de l'inéquation dans \left[ 0 ; 2\pi \right] ?
On sait que :
-\dfrac{1}{2}= \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)
On sait qu'une autre mesure d'un angle de mesure -\dfrac{2\pi}{3} est -\dfrac{2\pi}{3} +2\pi = \dfrac{4\pi}{3}.
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right] on représente le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On a ainsi identifié l'ensemble des points du cercle qui correspondent aux réels x tels que \cos\left(x\right) \lt -\dfrac{1}{2}.
L'ensemble des solutions S_1 de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S_1 = \left] \dfrac{2\pi}{3} ; \dfrac{4\pi}{3} \right[
Quel est l'ensemble S_2 des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] ?
De nouveau, on trace le cercle trigonométrique, cette fois-ci en faisant apparaître l'angle -\dfrac{2\pi}{3} qui appartient à l'intervalle recherché.
Sur \left[-\pi ; \pi \right] :
- On part de -\pi qui appartient aux solutions sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On va jusqu'en -\dfrac{2\pi}{3}, première solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On part de \dfrac{2\pi}{3}, dernière solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On va jusqu'en \pi qui appartient aux solutions sur \left[-\pi ; \pi \right].
L'ensemble des solutions S_2 de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_2 = \left[-\pi ; -\dfrac{2\pi}{3} \right[ \cup \left]\dfrac{2\pi}{3} ; \pi \right]
Quel est l'ensemble S_3 des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} ?
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ 0 ; 2\pi \right] est :
S_1 = \left]\dfrac{2\pi}{3} ; \dfrac{4\pi}{3} \right[
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est la réunion des intervalles de la forme :
\left] \dfrac{2\pi}{3}+ k2\pi ; \dfrac{4\pi}{3}+k2\pi \right[, k\in\mathbb{Z}
S_3 =\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left] \dfrac{2\pi}{3}+ k2\pi ; \dfrac{4\pi}{3}+k2\pi \right[