Que valent les primitives de la fonction f(x) = 8 x \sin{\left(x^{2} - 3 \right)} ?
On cherche à calculer l'intégrale d'une fonction de la forme f = u' \sin(u) .
Ici :
u(x) = x^{2} - 3
et
u'(x) = 2 x
On sait qu'une primitive de u' \sin(u) est -\cos(u) .
Ici, une primitive de x \mapsto 2 x \sin{\left(x^{2} - 3 \right)} sera x \mapsto -\cos{\left(x^{2} - 3 \right)} .
Les primitives de f seront donc :
F(x) = 4 \times(- \cos{\left(x^{2} - 3 \right)}) + C, C \in \mathbb{R}
F(x) = -4 \cos{\left(x^{2} - 3 \right)} + C, C \in \mathbb{R}
Que valent les primitives de la fonction f(x) = - 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} ?
On cherche à calculer l'intégrale d'une fonction de la forme f = u' \sin(u) .
Ici :
u(x) = \cos{\left(x \right)}
et
u'(x) = - \sin{\left(x \right)}
On sait qu'une primitive de u' \sin(u) est -\cos(u) .
Ici, une primitive de x \mapsto - \sin{\left(x \right)} \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} sera x \mapsto -\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} .
Les primitives de f seront donc :
F(x) = 2 \times (-\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}) + C, C \in \mathbb{R}
Que valent les primitives de la fonction f(x) = - \frac{3 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} ?
On cherche à calculer l'intégrale d'une fonction de la forme f = u' \sin(u) .
Ici :
u(x) = \frac{1}{x}
et
u'(x) = - \frac{1}{x^{2}}
On sait qu'une primitive de u' \sin(u) est - \cos(u) .
Ici, une primitive de x \mapsto - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} sera x \mapsto -\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} .
Les primitives de f seront donc :
F(x) = 3 \times(- \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}) + C, C \in \mathbb{R}
Que valent les primitives de la fonction f(x) = 15 \sin{\left(3 x - 3 \right)} ?
On cherche à calculer l'intégrale d'une fonction de la forme f = u' \sin(u) .
Ici :
u(x) = 3 x - 3
et
u'(x) = 3
On sait qu'une primitive de u' \sin(u) est -\cos(u) .
Ici, une primitive de x \mapsto 3 \sin{\left(3 x - 3 \right)} sera x \mapsto -\cos{\left(3 x - 3 \right)} .
Les primitives de f seront donc :
F(x) = 5 \times (-\cos{\left(3 x - 3 \right)}) + C, C \in \mathbb{R}
Que valent les primitives de la fonction f(x) = 2 e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} ?
On cherche à calculer l'intégrale d'une fonction de la forme f = u' \sin(u) .
Ici :
u(x) = e^{x}
et
u'(x) = e^{x}
On sait qu'une primitive de u' \sin(u) est - \cos(u) .
Ici, une primitive de x \mapsto e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} sera x \mapsto -\cos{\left(e^{x} \right)} .
Les primitives de f seront donc F(x) = 2 \times (-\cos{\left(e^{x} \right)}) + C, C \in \mathbb{R} .