La notion de primitive
La notion de primitive est liée à celle de dérivée. Cette notion possède de nombreuses applications. On la retrouve par exemple lors du calcul d'aires de surface ou la résolution d'équations (équations différentielles notamment) portant sur des fonctions décrivant des phénomènes physiques.
Équation différentielle
Soit I un intervalle de \mathbb{R}.
On appelle équation différentielle du premier ordre sur I une équation dont l'inconnue est une fonction y dérivable sur I du type :
a(x)y'(x)+b(x)y(x)=f(x)\text{ pour tout }x\in I
où a, b et f sont des fonctions définies sur I.
On considère l'équation différentielle suivante définie sur \mathbb{R} :
y'(x)+2x y(x)=0
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=\text{e}^{-x^2}
Comme composée de deux fonctions dérivable sur \mathbb{R}, f est dérivable sur \mathbb{R}, et pour tout réel x, on a :
f'(x)=-2x\text{e}^{-x^2}
Ainsi, pour tout réel x, on a :
f'(x)+2x f(x)=-2x\text{e}^{-x^2}+2x\text{e}^{-x^2}
f'(x)+2x f(x)=0
La fonction f est bien solution de l'équation différentielle y'(x)+2x y(x)=0.
Primitive d'une fonction continue
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I toute fonction dérivable sur I et solution de l'équation différentielle :
y'=f
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=3\cos(3x)+2x
Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par :
g(x)=\sin(3x)+x^2
Comme somme de deux fonctions dérivables sur \mathbb{R}, g est dérivable sur \mathbb{R}, et pour tout réel x, on a :
g'(x)=3\cos(3x)+2x
La fonction g vérifie donc :
g'=f
C'est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Par définition, la recherche d'une primitive sur un intervalle I est le procédé inverse de la dérivation.
Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors f admet des primitives sur I.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Deux primitives de f sur I diffèrent d'une constante.
Autrement dit, si F_1 et F_2 sont des primitives de f sur I, alors il existe un réel k tel que pour tout réel x\in I, F_2(x)=F_1(x)+k.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Soit F_1 et F_2 deux primitives de f sur I.
Soit F=F_2-F_1.
Comme différence de deux fonctions dérivables sur I, F est dérivable sur I.
Pour tout réel x de I, on a :
F'(x)=F_2'(x)-F_1'(x)
F'(x)=f(x)-f(x)
F'(x)=0
La fonction F est donc une fonction de dérivée nulle sur un intervalle. Elle est donc constante.
Autrement dit, il existe un réel k tel que :
F(x)=k
Ainsi, il existe un réel k tel que :
F_2(x)-F_1(x)=k pour tout réel x de I
Soit :
F_2(x)=F_1(x)+k
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2-5x+3.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+3x est une primitive de f sur \mathbb{R}.
En effet, comme fonction polynôme, F est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
F'(x)=\dfrac{1}{3}\times 3x^2-\dfrac{5}{2}\times 2x+3
F'(x)=x^2-5x+3
F'(x)=f(x)
F est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Les primitives de f sur \mathbb{R} sont donc les fonctions du type x\mapsto F(x)+k où k est un réel quelconque, c'est-à-dire les fonctions du type :
x\mapsto \dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+3x+k où k est un réel quelconque.
Une fonction continue sur un intervalle I admet donc une infinité de primitives sur I.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et x_0\in I.
Pour tout réel y_0, il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(x_0)=y_0.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2-x.
La fonction G définie sur \mathbb{R} par G(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2 est une primitive de de f sur \mathbb{R}.
Comme fonction polynôme, la fonction G est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x :
G'(x)=\dfrac{1}{3}\times 3x^2-\dfrac{1}{2}\times 2x
G'(x)=x^2-x
G'(x)=f(x)
Les primitives de f sur \mathbb{R} sont donc les fonctions du type x\mapsto G(x)+k où k est un réel quelconque.
On cherche la primitive F de f sur \mathbb{R} telle que F(1)=1.
On cherche donc le réel k tel que G(1)+k=1.
Or G(1)+k=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+k.
Donc G(1)+k=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+k=1.
On en déduit :
k=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}
La primitive F de f sur \mathbb{R} telle que F(1)=1 est définie pour tout réel x par :
F(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}
Les primitives des fonctions de référence
Pour déterminer des primitives d'une fonction, il est nécessaire d'en connaître déjà certaines, que l'on appelle fonctions de référence.
Soit un entier relatif n.
- Si n\geq 0, les primitives sur \mathbb{R} de la fonction x\mapsto x^n sont les fonctions du type x\mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+k où k est un réel quelconque.
- Si n<-1, les primitives sur ]-\infty;0[ (ou sur ]0;+\infty[) de la fonction x\mapsto x^n sont les fonctions du type x\mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+k où k est un réel quelconque.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{10}.
Les primitives sur \mathbb{R} de f sont les fonctions du type :
x\mapsto \dfrac{1}{11}x^{11}+k
où k est un réel quelconque.
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{x^5}.
Alors pour tout réel x>0, on a :
f(x)=x^{-5}
Les primitives sur ]0;+\infty[ de f sont les fonctions du type :
x\mapsto \dfrac{1}{-5+1}x^{-5+1}+k où k est un réel quelconque ;
soit x\mapsto \dfrac{1}{-4}x^{-4}+k où k est un réel quelconque ;
ou encore x\mapsto \dfrac{-1}{4x^4}+k où k est un réel quelconque.
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
Les primitives sur ]0;+\infty[ de f sont les fonctions du type :
x\mapsto 2\sqrt{x}+k
où k est un réel quelconque.
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
La fonction F définie sur ]0;+\infty[ par F(x)=2\sqrt{x}+5 est une primitive de f sur ]0;+\infty[.
Les primitives sur \mathbb{R} de la fonction exponentielle sont les fonctions du type :
x\mapsto \text{e}^x+k
où k est un réel quelconque.
Soit F la fonction définie sur \mathbb{R} par F(x)=\text{e}^x+10 est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction exponentielle.
Les primitives sur \mathbb{R} de la fonction sinus sont les fonctions du type :
x\mapsto -\cos(x)+k
où k est un réel quelconque.
Soit F la fonction définie sur \mathbb{R} par F(x)=-\cos(x)+\pi est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction sinus.
Les primitives sur \mathbb{R} de la fonction cosinus sont les fonctions du type :
x\mapsto \sin(x)+k
où k est un réel quelconque.
Soit F la fonction définie sur \mathbb{R} par F(x)=\sin(x)-12 est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction cosinus.
Les primitives et les opérations
À partir des fonctions de référence, on peut déduire des primitives de nombreuses autres fonctions en utilisant les opérations algébriques de base.
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I admettant des primitives F et G sur I.
Alors F+G est une primitive sur I de la fonction f+g.
Soient f et g les fonctions définies sur \mathbb{R} par f(x)=\text{e}^{2x} et g(x)=\cos(x).
- La fonction F définie sur \mathbb{R} par F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction f.
- La fonction G définie sur \mathbb{R} par G(x)=\sin(x) est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction g.
Donc la fonction F+G est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction f+g.
Autrement dit, la fonction x\mapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}+\sin(x) est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction x\mapsto \text{e}^{2x}+\cos(x).
Soit f une fonction définie sur un intervalle I admettant une primitive F sur I.
Soit k un réel.
Alors la fonction kF est une primitive sur \mathbb{R} de kf.
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
La fonction F définie sur ]0;+\infty[ par F(x)=2\sqrt{x} est une primitive de f sur ]0;+\infty[.
Par conséquent la fonction 10F est une primitive sur ]0;+\infty[ de la fonction 10f.
Autrement dit, la fonction x\mapsto 20\sqrt{x} est une primitive sur ]0;+\infty[ de la fonction x\mapsto \dfrac{10}{\sqrt{x}}.
Soit f une fonction polynôme de degré n et d'expression :
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0
Alors une primitive de f sur \mathbb{R} est la fonction F définie par :
F(x)=\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}+\dfrac{a_{n-1}}{n}x^n+\dots+\dfrac{a_1}{2}x^2+a_0x
Soit f la fonction polynôme d'expression f(x)=5x^5+3x^2-10.
Une primitive de f sur \mathbb{R} est la fonction F d'expression :
F(x)=\dfrac{5}{6}x^6+x^3-10x
Soit une fonction u dérivable sur un intervalle I et à valeurs dans J.
Soit une fonction v dérivable sur l'intervalle J.
Alors la fonction \left(v'\circ \,u \right)\times u' admet pour primitive sur I la fonction v\circ\, u.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=2x\cos\left(x^2\right).
Pour tout réel x, f(x)=\left(v'\circ\, u\right)(x)\times u'(x) avec u(x)=x^2 et v'(x)=\cos(x).
On a u'(x)=2x pour tout réel x.
De plus, la fonction v définie par v(x)=\sin(x) est une primitive sur \mathbb{R} de v'.
Ainsi, la fonction F=v\circ\, u est une primitive sur \mathbb{R} de f.
Autrement dit, la fonction x\mapsto \sin\left(x^2\right) est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction x\mapsto 2x\cos\left(x^2\right).
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et n un entier relatif.
Lorsqu'une fonction est de la forme f, elle admet F comme primitive en suivant ce tableau :
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}.
Alors f=\dfrac{u'}{u} avec u(x)=x^2+1.
u est strictement positive sur \mathbb{R}.
La fonction F définie par F(x)=\ln(u(x)) est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Autrement dit, la fonction x\mapsto \ln\left(x^2+1\right) est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction x\mapsto \dfrac{2x}{x^2+1}.