Trouver les primitives d'une opération linéaire de fonctions usuelles et de combinaisons de fonctions usuelles Exercice

On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions.

Ici :
f = 2 \cos{\left(x \right)} + \dfrac{2}{x + 1}=2u(x)+2v(x)

Avec :
u(x) = \cos{\left(x \right)}
et
v(x) = \dfrac{1}{x + 1}

Or, une primitive de u est U(x) = \sin{\left(x \right)} .

Et une primitive sur \mathbb{R}^+ de v est V(x) = \ln{\left(x + 1 \right)} .

Donc une primitive de la combinaison linéaire est la combinaison linéaire des primitives.

On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions.

Ici :
f = 3 x + 2 \sin{\left(x \right)}=3u(x)+2v(x)

Avec :
u(x) = x
et
v(x) = \sin{\left(x \right)}

Or, une primitive de u est U(x) = \dfrac{x^{2}}{2} .

Et une primitive de v est V(x) = - \cos{\left(x \right)} .

Donc une primitive de la combinaison linéaire est la combinaison linéaire des primitives.

On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions.

Ici :
f = 4 \sqrt{x} + \dfrac{8}{x}=4u(x)+8v(x)

Avec :
u(x) = \sqrt{x}
et
v(x) = \dfrac{1}{x}

Or, une primitive de u est U(x) = \dfrac{2}{3}x^{3/2} .

Et une primitive de v est V(x) = \ln(x) .

Donc une primitive de la combinaison linéaire est la combinaison linéaire des primitives.

On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions.

Ici :
f = 5 x^{3} - x^{2}=5u(x)-v(x)

Avec :
u(x) = x^{3}
et
v(x) = x^{2}

Or, une primitive de u est U(x) = \dfrac{x^{4}}{4} .

Et une primitive de v est V(x) = \dfrac{x^{3}}{3} .

Donc une primitive de la combinaison linéaire est la combinaison linéaire des primitives.

On cherche à calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions.

Ici :
f = e^{x} + 2 \ln{\left(x \right)} =u(x)+2v(x)

Avec :
u(x) = e^{x}
et
v(x) = \ln{\left(x \right)}

Or, une primitive de u est U(x) = e^{x} .

Et une primitive de v est V(x) = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right) .

Donc une primitive de la combinaison linéaire est la combinaison linéaire des primitives.