Que valent les primitives de la fonction f(x) = 6 x \left(x^{2} + 1\right)^{2} ?
On cherche à calculer les primitives d'une fonction de la forme f = u' u^n .
Ici :
u(x) = x^{2} + 1
et
u'(x) = 2 x
On sait qu'une primitive de u' u^{n} est :
\dfrac{1}{n+1} u^{n+1}
Ici, une primitive de x \mapsto 2 x \left(x^{2} + 1\right)^{2} sera x \mapsto \dfrac{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}{3} .
Les primitives de f seront donc :
F(x) = 3 \times \dfrac{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}{3} + C, C \in \mathbb{R}
Que valent les primitives de la fonction f(x) = - 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} ?
On cherche à calculer les primitives d'une fonction de la forme f = u' u^n .
Ici :
u(x) = \cos{\left(x \right)}
et
u'(x) = - \sin{\left(x \right)}
On sait qu'une primitive de u' u^{n} est :
\dfrac{1}{n+1} u^{n+1}
Ici, une primitive de x \mapsto - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} sera x \mapsto \dfrac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} .
Les primitives de f seront donc :
F(x) = 4 \times \dfrac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + C, C \in \mathbb{R}
Que valent les primitives de la fonction f(x) = \dfrac{16}{\left(x + 1\right)^{5}} ?
On pose :
f(x) = 16 (x+1)^{-5}
Donc une primitive de f est :
16 \times \dfrac{1}{-4} \times (x+1)^{-4}
Ici, une primitive de x \mapsto - \dfrac{16}{\left(x + 1\right)^{5}} sera x \mapsto -\dfrac{4}{\left(x + 1\right)^{4}} .
Les primitives de f seront donc :
F(x) = -1 \times \dfrac{4}{\left(x + 1\right)^{4}} + C, C \in \mathbb{R}
Que valent les primitives de la fonction f(x) = - 18 \left(9 x - 9\right)^{2} ?
On cherche à calculer les primitives d'une fonction de la forme f = u' u^n .
Ici :
u(x) = 9 x - 9
et
u'(x) = 9
On sait qu'une primitive de u' u^{n} est :
\dfrac{1}{n+1} u^{n+1} .
Ici, une primitive de x \mapsto 9 \left(9 x - 9\right)^{2} sera x \mapsto \dfrac{\left(9 x - 9\right)^{3}}{3} .
Les primitives de f seront donc :
F(x) = -2 \times \dfrac{\left(9 x - 9\right)^{3}}{3} + C, C \in \mathbb{R}
Que valent les primitives de la fonction f(x) = e^{4 x} ?
On cherche à calculer les primitives d'une fonction de la forme f = u' u^n .
Ici :
u(x) = e^{x}
et
u'(x) = e^{x}
On sait qu'une primitive de u' u^{n} est :
\dfrac{1}{n+1} u^{n+1}
Ici, une primitive de x \mapsto e^{4 x} sera x \mapsto \dfrac{e^{4 x}}{4} .
Les primitives de f seront donc :
F(x) = 1 \times \dfrac{e^{4 x}}{4} + C, C \in \mathbb{R}