Que valent les primitives de la fonction f:x\longmapsto \dfrac{1}{x \ln{\left(x \right)}} ?
On se place sur ]1 ; +\infty[ :
On cherche à déterminer une primitive d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{u} .
Ici :
u(x) = \ln{\left(x \right)}
et
u'(x) = \dfrac{1}{x}
On sait que la dérivée de \ln(u) est :
\left( \ln(u) \right)' = \dfrac{u'}{u}
Donc une primitive de \dfrac{u'}{u} est \ln(u) .
Puisque \dfrac{1}{x\ln(x)}=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\ln(x)}, une primitive de x \mapsto \dfrac{1}{x \ln{\left(x \right)}} sera x \mapsto \ln{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} .
Donc, sur ]1 ; +\infty[, les primitives de f seront : F:x\longmapsto \ln{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} + C, C \in \mathbb{R} .
Que valent les primitives de la fonction f:x\longmapsto - \dfrac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} ?
On se place sur l'ensemble des réels x pour lesquels \cos\left(x\right)\gt0.
On peut restreindre l'étude à l'intervalle ]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}[.
On cherche à déterminer une primitive d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{u} .
Ici :
u(x) = \cos{\left(x \right)}
et
u'(x) = - \sin{\left(x \right)}
On sait que la dérivée de \ln(u) est :
\left( \ln(u) \right)' = \dfrac{u'}{u}
Donc une primitive de \dfrac{u'}{u} est \ln(u) .
Ici, une primitive de x \mapsto - \dfrac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} sera x \mapsto \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} .
Donc les primitives de f seront F:x\longmapsto \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + C, C \in \mathbb{R} .
Que valent les primitives de la fonction f:x\longmapsto - \dfrac{2 \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} ?
On se place sur l'ensemble des réels x pour lesquels \dfrac{2}{x+1}\gt0, c'est-à-dire sur l'intervalle ]-1; +\infty[.
On cherche à calculer l'intégrale d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{u} .
On a :
f(x) = -\dfrac{2\left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2} \right)}{(x+1)^{2}}=-\dfrac{2}{(x+1)^{2}}\times\left( \dfrac{x+1}{2} \right)=- \dfrac{1}{x+1}
Ici :
u(x) = x + 1
et
u'(x) = 1
On sait que la dérivée de \ln(u) est :
\left( \ln(u) \right)' = \dfrac{u'}{u}
Donc une primitive de \dfrac{u'}{u} est \ln(u) .
Ici, une primitive de x \mapsto - \dfrac{2 \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} sera x \mapsto -\ln{\left(x+1 \right)} .
Donc les primitives de f seront F:x\longmapsto -\ln{\left(x + 1 \right)} + C, C \in \mathbb{R} .
Que valent les primitives de la fonction f:x\longmapsto \dfrac{18 x - 18}{\left(3 x - 3\right)^{2}} ?
On se place sur l'ensemble des réels x pour lesquels 3x-3\gt0, c'est-à-dire ]1 ; +\infty[.
On cherche à déterminer une primitive d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{u} .
Ici, puisque \left( (ax + b)^{2} \right)^{'}=2a(ax+b) :
u(x) = \left(3 x - 3\right)^{2}
et
u'(x) = 2\times3\times(3x - 3)=18 x - 18
On sait que la dérivée de \ln(u) est :
\left( \ln(u) \right)' = \dfrac{u'}{u}
Donc une primitive de \dfrac{u'}{u} est \ln(u) .
Ici, une primitive de x \mapsto \dfrac{18 x - 18}{\left(3 x - 3\right)^{2}} sera x \mapsto \ln{\left(\left(3 x - 3\right)^{2} \right)} = 2 \ln{\left(3 x - 3 \right)} .
Donc les primitives de f seront F:x\longmapsto 2 \ln{\left(3 x - 3 \right)} + C, C \in \mathbb{R} .
Que valent les primitives de la fonction f:x\longmapsto \dfrac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} ?
On se place sur l'ensemble des réels x pour lesquels \sin\left(3x\right)\gt0.
On peut restreindre l'étude à l'intervalle ]0;\dfrac{\pi}{3}.
On cherche à déterminer une primitive d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{u} .
Ici :
u(x) = \sin{\left(3 x \right)}
et
u'(x) = 3 \cos{\left(3 x \right)}
On sait que la dérivée de \ln(u) est :
\left( \ln(u) \right)' = \dfrac{u'}{u}
Donc une primitive de \dfrac{u'}{u} est \ln(u) .
Ici, une primitive de x \mapsto \dfrac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} sera x \mapsto \ln{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} .
Donc les primitives de f seront F:x\longmapsto \ln{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} + C, C \in \mathbb{R} .