Fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, définie sur \mathbb{R}^{+*} est f\left(x\right)=\ln\left(x\right).
- Pour tout réel x : \ln\left(e^{x}\right) = x.
- Pour tout réel x strictement positif : e^{\ln\left(x\right)} = x.
Propriétés algébriques de la fonction \ln
Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :
- \ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)
- \ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)
- \ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)
- \ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)
- \ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)
Limites de la fonction \ln
\lim\limits_{x \to 0} \ln\left(x\right) = - \infty
\lim\limits_{x \to +\infty } \ln\left(x\right) = + \infty
Croissances comparées
\lim\limits_{x \to +\infty }\dfrac{\ln\left(x\right)}{x}= 0
\lim\limits_{x \to 0^{+}} x \ln\left(x\right) = 0
Taux d'accroissement
\lim\limits_{x \to 1}\, \dfrac{\ln\left(x\right)}{x-1}= 1
\lim\limits_{x \to 0^+}\, \dfrac{\ln\left(1+x\right)}{x}= 1
Dérivées
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \ln\left(x\right) | \dfrac1x |
| \ln\left(u\right) | \dfrac{u'}{u} |
Logarithme décimal
La fonction logarithme décimal, notée \log, est définie sur \mathbb{R}^{+*} par :
\log\left(x\right) =\dfrac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(10\right)}