Quelle est l'expression dérivée de la fonction définie sur \left]-\infty ; 0 \right[ par f\left(x\right) = \ln \left(-2x\right) ?
f est dérivable sur \left]-\infty ; 0 \right[ en tant que composée de fonctions dérivables.
On remarque que f = \ln \left(u\right), avec pour tout réel x, u\left(x\right) = -2x.
On en déduit que f' = \dfrac{u'}{u}.
Sachant que \forall x \in \mathbb{R}, u'\left(x\right)=-2
On en conclut que :
\forall x \in \left]-\infty ; 0 \right[, f'\left(x\right) = \dfrac{1}{x}
Quelle est l'expression dérivée de la fonction définie sur \left] -\infty ; \dfrac{4}{3}\right[ par f\left(x\right) = \ln \left(4-3x\right) ?
f est dérivable sur \left] -\infty ; \dfrac{4}{3}\right[ en tant que composée de fonctions dérivables.
On remarque que f = \ln \left(u\right), avec pour tout réel x, u\left(x\right) = 4-3x.
On en déduit que f' = \dfrac{u'}{u}.
Sachant que \forall x \in \left] -\infty ; \dfrac{4}{3}\right[, u'\left(x\right)=-3
On en conclut que :
\forall x \in \left] -\infty ; \dfrac{4}{3}\right[, f'\left(x\right) = \dfrac{-3}{4-3x}
Quelle est l'expression dérivée de la fonction définie sur \mathbb{R}-\left\{ -2\right\} par f\left(x\right) = \ln \left(x^2+4x+4\right) ?
f est dérivable sur \mathbb{R}-\left\{ -2\right\} en tant que composée de fonctions dérivables.
On remarque que f = \ln \left(u\right), avec pour tout réel x, u\left(x\right) = x^2+4x+4.
On en déduit que f' = \dfrac{u'}{u}.
Sachant que \forall x \in \mathbb{R}, u'\left(x\right)=2x+4
On en conclut que :
\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -2 \right\}, f'\left(x\right) = \dfrac{2x+4}{x^2+4x+4}
Quelle est l'expression dérivée de la fonction définie sur \left]ln\left(2\right);+\infty \right] par f\left(x\right) = \ln \left(e^x-2\right) ?
f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que composée de fonctions dérivables.
On remarque que f = \ln \left(u\right), avec pour tout réel x, u\left(x\right) = e^x-2.
On en déduit que f' = \dfrac{u'}{u}.
Sachant que \forall x \in \mathbb{R}, u'\left(x\right)=e^x
On en conclut que :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = \dfrac{e^x}{e^x-2}
Quelle est l'expression dérivée de la fonction définie sur \left] 0 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = \ln \left(\dfrac{1}{x}\right) ?
f est dérivable sur \left] 0 ; +\infty \right[ en tant que composée de fonctions dérivables.
On remarque que f = \ln \left(u\right), avec pour tout réel x, u\left(x\right) = \dfrac{1}{x}.
On en déduit que f' = \dfrac{u'}{u}.
Sachant que \forall x \in \mathbb{R}, u'\left(x\right)=-\dfrac{1}{x^2}
On en conclut que :
\forall x \in \left] 0 ; +\infty \right[, f'\left(x\right) = \dfrac{-\dfrac {1}{x^2}}{\dfrac{1}{x}} = - \dfrac{1}{x}
\forall x \in \left] 0 ; +\infty \right[, f'\left(x\right) = -\dfrac{1}{x}
Quelle est l'expression dérivée de la fonction définie sur \left] 1 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = \ln \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) ?
f est dérivable sur \left] 1 ; +\infty \right[ en tant que composée de fonctions dérivables.
On remarque que f = \ln \left(u\right), avec pour tout réel x, u\left(x\right) = \dfrac{x+1}{x-1}.
On en déduit que f' = \dfrac{u'}{u}.
Sachant que \forall x \in \mathbb{R}-\left\{ 1 \right\}, u'\left(x\right)=-\dfrac{1\left(x-1\right) -\left(x+1\right)1}{\left(x-1\right)^2} = \dfrac{-2}{\left(x-1\right)^2}
On en conclut que :
\forall x \in \left] 1 ; +\infty \right[, f'\left(x\right) = \dfrac{-\dfrac {2}{\left(x-1\right)^2}}{\dfrac{x+1}{x-1}} = - \dfrac{2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{-2}{x^2-1}
\forall x \in \left] 1 ; +\infty \right[, f'\left(x\right) = -\dfrac{2}{x^2-1}
Quelle est l'expression dérivée de la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \ln \left(x^2+3\right) ?
f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que composée de fonctions dérivables.
On remarque que f = \ln \left(u\right), avec pour tout réel x, u\left(x\right) = x^2 +3.
On en déduit que f' = \dfrac{u'}{u}.
Sachant que \forall x \in \mathbb{R}, u'\left(x\right)=2x
On en conclut que :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = \dfrac{2x}{x^2+3}