Quel est l'ensemble de définition de la fonction f définie par f\left(x\right) =\ln\left(2x-5\right) ?
f\left(x\right) existe si et seulement si 2x-5 > 0.
2x-5 > 0
\Leftrightarrow 2x > 5
\Leftrightarrow x > \dfrac{5}{2}
Df = \left] \dfrac{5}{2}; +\infty \right[
Quel est l'ensemble de définition de la fonction f définie par f\left(x\right) =\ln\left(x^2+1\right) ?
f\left(x\right) existe si et seulement si x^2+1\gt 0.
Or un carré est toujours positif. Donc x^2+1\gt 0 sur \mathbb{R}.
Df = \mathbb{R}
Quel est l'ensemble de définition de la fonction f définie par f\left(x\right) =\ln\left(x-1\right) + \ln\left(x-2\right) ?
f\left(x\right) existe si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
- x-1> 0 \Leftrightarrow x\gt 1
- x-2 \gt 0 \Leftrightarrow x\gt 2
Df = \left] 2; +\infty \right[
Quel est l'ensemble de définition de la fonction f définie par f\left(x\right) =\ln\left(x^2-1\right) ?
f\left(x\right) existe si et seulement si x^2-1\gt 0.
x^2-1\gt 0
\Leftrightarrow x^2 > 1
\Leftrightarrow x> 1 ou x \lt -1
Df = \left] -\infty ; -1 \right[ \cup \left] 1; +\infty \right[
Quel est l'ensemble de définition de la fonction f définie par f\left(x\right) =\ln\left(\dfrac{2+x}{2-x}\right) ?
f\left(x\right) existe si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
- \dfrac{2+x}{2-x}> 0
- 2-x\neq0
On étudie le signe du quotient. En distinguant numérateur et dénominateur, on a :
- 2+x \gt 0 \Leftrightarrow x \gt -2
- 2-x \gt 0 \Leftrightarrow x \lt 2
On peut ainsi dresser le tableau de signes (qui intègre également la condition 2-x\neq0 ) :
Df = \left] -2; 2 \right[
Quel est l'ensemble de définition de la fonction f définie par f\left(x\right) =\dfrac{\ln\left(x+1\right)}{x} ?
f\left(x\right) existe si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
- x+1> 0 \Leftrightarrow x\gt -1
- x\neq0
Df = \left] -1; 0 \right[ \cup \left] 0; +\infty \right[
Quel est l'ensemble de définition de la fonction f définie par f\left(x\right) =\ln \left(x^2-4x+3\right) ?
f\left(x\right) existe si et seulement si x^2-4x+3 \gt 0.
On étudie donc le signe du trinôme x^2-4x+3 : :
\Delta = b^2-4ac = 16-4 \times 1 \times 3 = 4
\Delta \gt 0 donc le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -a à l'intérieur des racines. On calcule les racines, on obtient :
x_1 = \dfrac{4-2}{2} = 1 et x_2 = \dfrac{4+2}{2} = 3
Donc f est définie sur \left] -\infty ; 1 \right] \cup \left] 3; +\infty \right] .
Df =\left] -\infty ; 1 \right[ \cup \left] 3; +\infty \right]