Résoudre une inéquation du type ln(u(x))<k Exercice

L'inéquation existe si et seulement si :

x-5 \gt 0

\Leftrightarrow x\gt 5

Le domaine de définition de l'inéquation est donc : \left] 5 ; +\infty \right[.

\ln \left(x-5\right) \lt 4

\Leftrightarrow e^{\ln \left(x-5\right) }\lt e^4

\Leftrightarrow x-5 \lt e^4

\Leftrightarrow x \lt e^4+5

L'inéquation est définie sur \left] 5 ; +\infty \right[.

Or e^4+5\approx59{,}6

Donc e^4 +5 \in \left] 5 ; +\infty \right[.

L'inéquation existe si et seulement si :

2-9x \gt 0

\Leftrightarrow -9x \gt -2

\Leftrightarrow x \lt \dfrac{2}{9}

Le domaine de définition de l'inéquation est donc : \left] -\infty ; \dfrac{2}{9}\right[.

\ln \left(2-9x\right) \gt 3

\Leftrightarrow e^{\ln \left(2-9x\right) }\gt e^3

\Leftrightarrow 2-9x \gt e^3

\Leftrightarrow -9x \gt e^3-2

\Leftrightarrow x \lt \dfrac{2-e^3}{9}

L'inéquation est définie sur \left] -\infty ; \dfrac{2}{9}\right[.

Or \dfrac{2-e^3}{9} \approx -2{,}01

Donc \dfrac{2-e^3}{9} \in \left] -\infty ; \dfrac{2}{9}\right[.

L'inéquation existe si et seulement si :

x^2+2 \gt 0

Or un carré est toujours positif donc l'inéquation est définie sur \mathbb{R}.

\ln \left(x^2+2\right) \lt 7

\Leftrightarrow e^{\ln \left(x^2+2\right) }\lt e^7

\Leftrightarrow x^2+2 \lt e^7

\Leftrightarrow x^2 \lt e^7-2

\Leftrightarrow x \lt \sqrt{e^7-2} ou \Leftrightarrow x \gt -\sqrt{e^7-2}

L'inéquation est définie sur \mathbb{R}.

L'inéquation existe si et seulement si :

2x^2+3x+1 \gt 0

On étudie le signe du trinôme du second degré :

\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4 \times 2 \times 1 = 1

\Delta \gt 0 donc l'équation est du signe de a sauf entre les racines :

• X_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3 -\sqrt{1}}{4} = -1
• X_2= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-3 +\sqrt{1}}{2}=-\dfrac{1}{2}

Le domaine de définition de l'inéquation est donc : \left] -\infty ; -1 \right[ \cup \left] -\dfrac{1}{2} ; +\infty \right[ .

\ln \left(2x^2+3x+1\right) \lt 1

\Leftrightarrow e^{\ln \left(2x^2+3x+1\right) }\lt e^1

\Leftrightarrow 2x^2+3x+1 \lt e^1

\Leftrightarrow 2x^2+3x+1-e^1 \lt 0

On étudie le signe du trinôme du second degré :

\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4 \times 2 \times \left(1-e^1\right) = 1+8e

\Delta \gt 0 donc l'équation est du signe de a sauf entre les racines :

• X_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3 -\sqrt{1+8e}}{4}
• X_2= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-3 +\sqrt{1+8e}}{4}

Donc 2x^2+3x+1-e^1 \lt 0 sur \left] \dfrac{-3 -\sqrt{1+8e}}{4}; \dfrac{-3 +\sqrt{1+8e}}{4}\right[ .

L'inéquation est définie sur \left] -\infty ; -1 \right[ \cup \left] -\dfrac{1}{2} ; +\infty \right[ .

Or \dfrac{-3 -\sqrt{1+8e}}{4} \approx -1{,}94 et \dfrac{-3 +\sqrt{1+8e}}{4} \approx 0{,}44

Donc \dfrac{-3 -\sqrt{1+8e}}{4} \in \left]-\infty ; -1 \right[ et \dfrac{-3 +\sqrt{1+8e}}{4} \in \left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty \right[

L'inéquation existe si et seulement si :

3-x^2 \gt 0

\Leftrightarrow -x^2 \gt -3

\Leftrightarrow x^2 \lt 3

\Leftrightarrow x \lt \sqrt 3 ou \Leftrightarrow x \gt -\sqrt 3

Donc l'inéquation est définie sur \left] -\sqrt 3 ; \sqrt 3 \right[.

\ln \left(3-x^2\right) \gt 5

\Leftrightarrow e^{\ln \left(3-x^2\right) }\gt e^5

\Leftrightarrow 3-x^2\gt e^5

\Leftrightarrow -x^2 \gt e^5-3

\Leftrightarrow x^2 \lt 3-e^5

Or e^5 \approx 148 donc 3-e^5 \lt 0.

Or un carré est toujours positif donc l'inéquation n'a pas de solution sur \mathbb{R}.

L'inéquation existe si et seulement si :

x^2+x-4 \gt 0

On étudie le signe du trinôme du second degré :

\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times \left(-4\right) = 17

\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux solutions.

• X_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 -\sqrt{17}}{2}
• X_2= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-1 +\sqrt{17}}{2}

Le domaine de définition de l'inéquation est donc : \left] -\infty ; \dfrac{-1 -\sqrt{17}}{2} \right[ \cup \left] \dfrac{-1 +\sqrt{17}}{2} ; +\infty \right[ .

\ln \left(x^2+x-4\right) \gt 2

\Leftrightarrow e^{\ln \left(x^2+x-4\right) }\gt e^2

\Leftrightarrow x^2+x-4 \gt e^2

\Leftrightarrow x^2+x-4 -e^2\gt 0

On étudie le signe du trinôme du second degré :

\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times \left(-4-e^3\right) = 17+4e^2

\Delta \gt 0 donc le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -a à l'intérieur des racines. On calcule les racines, on obtient :

• X_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 -\sqrt{17+4e^2}}{2}
• X_2= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-1 +\sqrt{17+4e^2}}{2}

Donc le trinôme est positif sur \left] -\infty ; \dfrac{-1 -\sqrt{17+4e^2}}{2} \right[ \cup \left] \dfrac{-1 +\sqrt{17+4e^2}}{2} ; +\infty \right[ .

L'inéquation est définie sur \left] -\infty ; \dfrac{-1 -\sqrt{17}}{2} \right[ \cup \left] \dfrac{-1 +\sqrt{17}}{2} ; +\infty \right[ .

Or \dfrac{-1 -\sqrt{17+4e^2}}{2} \approx -3{,}91 et \dfrac{-1 +\sqrt{17+4e^2}}{2} \approx 2.91

Donc \dfrac{-1 -\sqrt{17+4e^2}}{2} \in \left] -\infty ; \dfrac{-1 -\sqrt{17}}{2} \right[ et \dfrac{-1+ \sqrt{17+4e^2}}{2} \in \left] \dfrac{-1 +\sqrt{17}}{2} ; +\infty \right[.

L'inéquation existe si et seulement si :

2+x \gt 0

\Leftrightarrow x \gt -2

Le domaine de définition de l'inéquation est donc : \left] -2; +\infty \right[ .

\ln \left(\dfrac{3}{2+x}\right) \gt \dfrac {1}{3}

\Leftrightarrow e^{\ln \left(\frac{3}{2+x}\right)} \gt e^{\frac {1}{3}}

\Leftrightarrow \dfrac{3}{2+x}\gt e^{\frac {1}{3}}

\Leftrightarrow \dfrac{2+x}{3}\lt e^{-\frac {1}{3}}

\Leftrightarrow 2+x \lt 3e^{-\frac {1}{3}}

\Leftrightarrow x \lt 3e^{-\frac {1}{3}}-2

Donc \ln \left(\dfrac{3}{2+x}\right) \gt \dfrac {1}{3} sur \left]-\infty ;3e^{-\frac {1}{3}}-2 \right[ .

L'inéquation est définie sur \left] -2; +\infty \right[ .

Or 3e^{-\frac {1}{3}}-2 \approx 0{,}15

Donc 3e^{-\frac {1}{3}}-2 \in \left] -2 ; +\infty \right[.