Résoudre une équation du type ln(u(x))=k Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

Quelle est la solution de l'équation suivante ?

\ln \left(2x+12\right) = 1

S=\left\{ \dfrac{e-12}{2} \right\}

S=\left\{ \dfrac{-11}{2} \right\}

S=\left\{ \dfrac{12-e}{2} \right\}

S=\left\{ -6 \right\}

Etape 1

Domaine de définition de l'équation

L'équation est définie si et seulement si 2x+12\gt0 .

2x+12\gt0

\Leftrightarrow x \gt -6

Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] -6; +\infty \right[.

Etape 2

Résolution de l'équation

\ln \left(2x+12\right) = 1

\Leftrightarrow \ln \left(2x+12\right) = \ln e

\Leftrightarrow 2x+12 = e

\Leftrightarrow 2x = e-12

\Leftrightarrow x = \dfrac{e-12}{2}

Etape 3

Compatibilité avec le domaine de définition

L'équation est définie sur \left] -6; +\infty \right[

Or \dfrac{e-12}{2}\approx-4{,}6

\dfrac{e-12}{2}\in\left] -6; +\infty \right[

S=\left\{ \dfrac{e-12}{2} \right\}

Quelle est la solution de l'équation suivante ?

\ln \left(-x-1\right) = -3

S=\left\{ -e^{-3}-1 \right\}

S=\left\{ e^{3}-1 \right\}

S=\left\{2 \right\}

S=\left\{ e^{-3}+1 \right\}

Etape 1

Domaine de définition de l'équation

L'équation est définie si et seulement si -x-1 \gt 0.

\Leftrightarrow x\lt -1

Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] -\infty ; -1\right[.

Etape 2

Résolution de l'équation

Pour tout x \lt -1,

\ln \left(-x-1\right) = -3

\Leftrightarrow -x-1 = e^{-3}

\Leftrightarrow -x = e^{-3} +1

\Leftrightarrow x =- e^{-3} -1

Etape 3

Compatibilité avec le domaine de définition

L'équation est définie sur \left] -\infty ; -1\right[.

-e^{-3}-1\in\left] -\infty ;-1 \right[

S=\left\{ -e^{-3}-1 \right\}

Quelle est la solution de l'équation suivante ?

\ln \left(-x+4\right) = 4

S=\left\{ 4-e^4\right\}

S=\left\{ e^4-4\right\}

S=\left\{ 4-ln4\right\}

S=\left\{ 0\right\}

Etape 1

Domaine de définition de l'équation

L'équation est définie si et seulement si -x+4 \gt0 .

-x\gt-4

\Leftrightarrow x \lt 4

Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] -\infty; 4 \right[.

Etape 2

Résolution de l'équation

\ln \left(-x+4\right) = 4

\Leftrightarrow -x+4 = e^4

\Leftrightarrow -x= e^4-4

\Leftrightarrow x = 4-e^4

Etape 3

Compatibilité avec le domaine de définition

L'équation est définie sur \left] -\infty; 4 \right[

Or 4-e^4\approx-50{,}6

4-e^4\in\left] -\infty ; 4 \right[

S=\left\{ 4-e^4\right\}

Quelle est la solution de l'équation suivante ?

\dfrac {1}{\ln \left(-3x+2\right)} = 3

S=\left\{ \dfrac{ 2-e^{\frac{1}{3}}}{3}\right\}

S=\left\{ \dfrac{ 2+e^{\frac{1}{3}}}{3}\right\}

S=\left\{-\dfrac{1}{3}\right\}

S=\left\{ \dfrac{5}{9}\right\}

Etape 1

Domaine de définition de l'équation

L'équation est définie si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :

\Leftrightarrow \begin{cases} -3x+2 \gt 0 \cr \cr \ln \left(-3x+2\right) \neq 0\end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} x \lt \dfrac{2}{3} \cr \cr \ln \left(-3x+2\right) \neq \ln 1\end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} x \lt \dfrac{2}{3} \cr \cr-3x+2 \neq 1\end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} x \lt \dfrac{2}{3} \cr \cr x \neq \dfrac{1}{3}\end{cases}

Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] -\infty; \dfrac{1}{3} \right[ \cup \left]\dfrac{1}{3}; \dfrac{2}{3} \right[ .

Etape 2

Résolution de l'équation

\dfrac {1}{\ln \left(-3x+2\right)} = 3

\Leftrightarrow \ln \left(-3x+2\right) = \dfrac{1}{3}

\Leftrightarrow -3x+2 = e^{\frac{1}{3}}

\Leftrightarrow -3x= e^{\frac{1}{3}}-2

\Leftrightarrow x=\dfrac{ 2-e^{\frac{1}{3}}}{3}

Etape 3

Compatibilité avec le domaine de définition

L'équation est définie sur \left] -\infty; \dfrac{1}{3} \right[ \cup \left] \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right[

Or \dfrac{ 2-e^{\frac{1}{3}}}{3} \approx 0{,}20

\dfrac{ 2-e^{\frac{1}{3}}}{3}\in\left] -\infty ; \dfrac{1}{3} \right[

S=\left\{ \dfrac{ 2-e^{\frac{1}{3}}}{3}\right\}

Quelle est la solution de l'équation suivante ?

\ln\left(x^2-1\right) = 2

S=\left\{ -\sqrt{e^2+1};\sqrt{e^2+1} \right\}

S=\left\{ - \sqrt{3};\sqrt{3}\right\}

S=\left\{ \sqrt{1+ln2}\right\}

S=\left\{ -e-1;e+1 \right\}

Etape 1

Domaine de définition de l'équation

L'équation est définie si et seulement si x^2-1 \gt 0.

\Leftrightarrow x^2 \gt 1
\Leftrightarrow x \gt 1 ou \Leftrightarrow x \lt -1
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] -\infty;-1 \right[ \cup \left]1; +\infty \right[ .

Etape 2

Résolution de l'équation

\ln\left(x^2-1\right) = 2

\Leftrightarrow x^2-1 = e^2

\Leftrightarrow x^2 = e^2+1

\Leftrightarrow x= \sqrt{e^2+1} ou x= -\sqrt{e^2+1}

Etape 3

Compatibilité avec le domaine de définition

L'équation est définie sur \left] -\infty;-1 \right[ \cup \left]1; +\infty \right[ .

Or \sqrt{e^2+1} \approx 2{,}90 et -\sqrt{e^2+1} \approx -2{,}90

Donc -\sqrt{e^2+1}\in\left] -\infty ; 1 \right[ et \sqrt{e^2+1}\in\left]1; +\infty \right[

S=\left\{ -\sqrt{e^2+1};\sqrt{e^2+1} \right\}

Quelle est la solution de l'équation suivante ?

\left(x-2\right)\ln\left(8x+5\right) = 0

S=\left\{-\dfrac{1}{2};2\right\}

S=\left\{2\right\}

S=\left\{-\dfrac{5}{8};2\right\}

S=\left\{\dfrac{3}{4};2\right\}

Etape 1

Domaine de définition de l'équation

L'équation est définie si et seulement si 8x+5\gt0 :

\Leftrightarrow 8x\gt-5

\Leftrightarrow x\gt -\dfrac{5}{8}

Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] -\dfrac{5}{8} ; +\infty\right[.

Etape 2

Résolution de l'équation

\left(x-2\right)\ln\left(8x+5\right) = 0

\Leftrightarrow x-2 = 0 ou \ln\left(8x+5\right) = 0

\Leftrightarrow x=2 ou \ln\left(8x+5\right) = \ln 1

\Leftrightarrow x=2 ou 8x+5 = 1

\Leftrightarrow x=2 ou x = -\dfrac{1}{2}

Etape 3

Compatibilité avec le domaine de définition

L'équation est définie sur \left]-\dfrac{5}{8}; +\infty \right[ .

Or -\dfrac{1}{2}\in\left]-\dfrac{5}{8}; +\infty \right[ et 2\in\left]-\dfrac{5}{8}; +\infty \right[

S=\left\{-\dfrac{1}{2};2\right\}