Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to -\infty} \ln \left(x^2+1\right)
On remarque dans un premier temps que \lim\limits_{x \to -\infty} x^2+1= +\infty.
On pose X =x^2+1, on a alors \lim\limits_{x \to -\infty} x^2+1 = \lim\limits_{X \to +\infty} X.
Or \lim\limits_{X \to +\infty} \ln X= +\infty.
Ainsi, par composition :
\lim\limits_{x \to -\infty} \ln \left(x^2+1\right)=+\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left(e^x-e^{-x}\right)
On remarque dans un premier temps que \lim\limits_{x \to +\infty} e^x= +\infty et que \lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x}= 0.
Donc par somme \lim\limits_{x \to +\infty} e^x - e^{-x}= +\infty.
On pose X =e^x-e^{-x}, on a alors \lim\limits_{x \to +\infty} e^x-e^{-x}= \lim\limits_{X \to +\infty} X.
Or \lim\limits_{X \to +\infty} \ln X= +\infty.
Ainsi, par composition :
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left(e^x-e^{-x}\right)=+\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left(x^2-4x+1\right)
La fonction sous le logarithme présente la forme indéterminée \infty - \infty.
On lève l'indétermination en factorisant par le terme de plus haut degré :
x^2-4x+1 = x^2\left(1-\dfrac{4}{x} +\dfrac{1}{x^2}\right)
Or :
- \lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty.
- \lim\limits_{x \to +\infty} 1-\dfrac{4}{x} +\dfrac{1}{x^2}= 1.
Ainsi par produit: \lim\limits_{x \to +\infty} x^2\left(1-\dfrac{4}{x} +\dfrac{1}{x^2}\right)= +\infty.
On pose X =x^2-4x+1, on a alors \lim\limits_{x \to +\infty} x^2-4x+1 = \lim\limits_{X \to +\infty} X.
Or \lim\limits_{X \to +\infty} \ln X= +\infty.
Ainsi, par composition :
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left(x^2-4x+1\right)= +\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to -\infty} \ln \left(2+3e^{-x}\right)
On remarque dans un premier temps que \lim\limits_{x \to -\infty} e^{-x}= +\infty.
Donc \lim\limits_{x \to -\infty} 2+3e^{-x}= +\infty.
On pose X =2+3e^{-x}, on a alors \lim\limits_{x \to -\infty} 2+3e^{-x} = \lim\limits_{X \to +\infty} X.
Or \lim\limits_{X \to +\infty} \ln X= +\infty.
Ainsi, par composition :
\lim\limits_{x \to -\infty} \ln \left(2+3e^{-x}\right)=+\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left(2+3e^{-x}\right)
On remarque dans un premier temps que \lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x}= 0.
Donc \lim\limits_{x \to +\infty} 2+3e^{-x}= 2.
On pose X =2+3e^{-x}, on a alors \lim\limits_{x \to +\infty} 2+3e^{-x} = \lim\limits_{X \to 2} X.
Or \lim\limits_{X \to 2} \ln X= \ln\left(2\right).
Ainsi, par composition :
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left(2+3e^{-x}\right)=\ln\left(2\right)
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left(\dfrac{e^x-1}{4e^x-3}\right)
Le quotient présente la forme indéterminée \infty - \infty.
On lève l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré :
\dfrac{e^x-1}{4e^x-3}= \dfrac{e^x\left(1-\dfrac{1}{e^x}\right)}{e^x\left(4-\dfrac{3}{e^x}\right)} = \dfrac{1-\dfrac{1}{e^x}}{4-\dfrac{3}{e^x}} .
Or :
- \lim\limits_{x \to +\infty} 1-\dfrac{1}{e^x}= 1.
- \lim\limits_{x \to +\infty} 4-\dfrac{3}{e^x}= 4.
Ainsi par quotient : \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1-\dfrac{1}{e^x}}{4-\dfrac{3}{e^x}} = \dfrac{1}{4}.
On pose X =\dfrac{e^x-1}{4e^x-3}, on a alors \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x-1}{4e^x-3}= \lim\limits_{ X \to \frac{1}{4}} X.
Or \lim\limits_{ X \to \frac{1}{4}}\ln X = \ln \left(\dfrac{1}{4}\right)= -ln4.
Ainsi, par composition :
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left(\dfrac{e^x-1}{4e^x-3}\right) = -\ln 4
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(x-2\right) - \ln \left(x+3\right)
Le quotient présente la forme indéterminée \infty - \infty.
Or on sait que \ln a - \ln b = \ln \left(\dfrac{a}{b}\right)
Donc \ln \left(x-2\right) - \ln\left(x+3\right) = \ln \left(\dfrac{x-2}{x+3}\right)
On peut maintenant lever l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré :
\dfrac{x-2}{x+3} = \dfrac{x\left(1-\dfrac{2}{x}\right)}{x\left(1+\dfrac{3}{x}\right)} = \dfrac{1-\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{3}{x}} .
Or :
- \lim\limits_{x \to +\infty} 1-\dfrac{2}{x} = 1.
- \lim\limits_{x \to +\infty} 1+\dfrac{3}{x} = 1.
Ainsi par quotient : \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1-\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{3}{x}} = 1.
On pose X =\dfrac{x-2}{x+3} , on a alors \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x-2}{x+3} = \lim\limits_{X \to 1} X.
Or \lim\limits_{X \to 1} lnX= ln1 = 0.
Ainsi, par composition :
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(x-2\right) - \ln \left(x+3\right) = 0