Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\ln\left( x+7\right) = \ln 4
Domaine de définition de l'équation
L'équation est définie si et seulement si x+7 \gt 0.
x \gt -7
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] -7; +\infty \right[.
Résolution de l'équation
\ln\left( x+7\right) = \ln 4
\Leftrightarrow x+7 = 4
\Leftrightarrow x = -3
Compatibilité avec le domaine de définition
L'équation est définie sur \left] -7; +\infty \right[
-3 \in \left] -7; +\infty \right[
S=\left\{ -3 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\dfrac{1}{2}\ln\left( x-1\right) = \ln 6
Domaine de définition de l'équation
L'équation est définie si et seulement si x-1 \gt 0.
x \gt 1
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] 1; +\infty \right[.
Résolution de l'équation
\dfrac{1}{2} \ln\left( x-1\right) = \ln 6
\Leftrightarrow \ln\left( x-1\right)^{\frac{1}{2} } = \ln 6
\Leftrightarrow \ln\left( \sqrt{x-1}\right) = \ln 6
\Leftrightarrow \sqrt{x-1}= 6
\Leftrightarrow x-1= 6^2
\Leftrightarrow x=37
Compatibilité avec le domaine de définition
L'équation est définie sur \left]1; +\infty \right[
37 \in \left] 1; +\infty \right[
S=\left\{ 37 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\ln\left( x^2+1\right) = \ln \left(2x^2-2\right)
Domaine de définition de l'équation
L'équation est définie si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{cases} x^2+1\gt0 \cr \cr 2x^2-2 \gt 0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x \in \mathbb{R} \cr \cr x^2 \gt 1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x \in \mathbb{R} \cr \cr x \gt 1 \; ou \; x \lt -1 \end{cases}
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] -\infty ; -1\right[ \cup \left] 1; +\infty \right[.
Résolution de l'équation
\ln\left( x^2+1\right) = \ln \left(2x^2-2\right)
\Leftrightarrow x^2+1 = 2x^2-2
\Leftrightarrow x^2 = 3
\Leftrightarrow x = \sqrt{3} ou x = -\sqrt{3}
Compatibilité avec le domaine de définition
L'équation est définie sur \left] -\infty ; -1\right[ \cup \left] 1; +\infty \right[
-\sqrt{3} \in\left] -\infty ; -1\right[ \cup \left] 1; +\infty \right[ et \sqrt{3} \in\left] -\infty ; -1\right[ \cup \left] 1; +\infty \right[
S=\left\{ -\sqrt 3 ; \sqrt 3 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\dfrac{1}{\ln \left(x+3\right)} = \dfrac{1}{\ln 5}
Domaine de définition de l'équation
L'équation est définie si et seulement si les conditions suivantes sont vérifées :
\begin{cases} x+3 \gt 0 \cr \cr \ln \left(x+3\right)\neq0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x \gt -3 \cr \cr \ln \left(x+3\right)\neq ln1 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x \gt -3 \cr \cr x+3\neq 1 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x \gt -3 \cr \cr x \neq -2 \end{cases}
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] -3; -2\right[ \cup \left] -2; +\infty \right[.
Résolution de l'équation
\dfrac{1}{\ln \left(x+3\right)} = \dfrac{1}{\ln 5}
\Leftrightarrow \ln \left(x+3\right)= \ln 5
\Leftrightarrow x+3 = 5
\Leftrightarrow x=2
Compatibilité avec le domaine de définition
L'équation est définie sur \left]-3; -2 \right[ \cup \left]-2; +\infty \right[
2\in \left]-3; -2 \right[ \cup \left]-2; +\infty \right[
S=\left\{ 2\right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\ln \left(2x+1\right) = \ln \left(3x-4\right)
Domaine de définition de l'équation
L'équation est définie si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{cases} 2x+1\gt0 \cr \cr 3x-4 \gt 0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x \gt -\dfrac{1}{2} \cr \cr x \gt \dfrac{4}{3} \end{cases}
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] \dfrac{4}{3}; +\infty \right[.
Résolution de l'équation
\ln \left(2x+1\right) = \ln \left(3x-4\right)
\Leftrightarrow2x+1 = 3x-4
\Leftrightarrow-x = -5
\Leftrightarrow x = 5
Compatibilité avec le domaine de définition
L'équation est définie sur \left] \dfrac{4}{3}; +\infty \right[
5\in\left] \dfrac{4}{3}; +\infty \right[
S=\left\{ 5 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\ln \left(3x+1\right) +\ln\left(2x+1\right)= \ln \left(x+1\right)
Domaine de définition de l'équation
L'équation est définie si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{cases} 3x+1\gt0 \cr \cr 2x+1 \gt 0\cr \cr x+1 \gt 0 \end{cases}
\begin{cases} x\gt -\dfrac{1}{3} \cr \cr x\gt -\dfrac{1}{2}\cr \cr x \gt -1 \end{cases}
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] -\dfrac{1}{3}; +\infty \right[.
Résolution de l'équation
\ln \left(3x+1\right) +\ln\left(2x+1\right)= \ln \left(x+1\right)
\Leftrightarrow \ln \left(\left(3x+1\right)\left(2x+1\right)\right)= \ln \left(x+1\right)
\Leftrightarrow \ln \left(6x^2+5x+1\right)= \ln \left(x+1\right)
\Leftrightarrow 6x^2+5x+1= x+1
\Leftrightarrow 6x^2+4x= 0
\Leftrightarrow x\left(6x+4\right) =0
\Leftrightarrow x= 0 ou \Leftrightarrow 6x+4= 0
\Leftrightarrow x= 0 ou \Leftrightarrow x= -\dfrac{2}{3}
Compatibilité avec le domaine de définition
L'équation est définie sur \left] -\dfrac{1}{3}; +\infty \right[.
0 \in \left] -\dfrac{1}{3}; +\infty \right[ mais -\dfrac{2}{3} \notin \left] -\dfrac{1}{3}; +\infty \right[.
S=\left\{ 0 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\ln \left(x^2-1\right) -\ln\left(x+1\right)= \ln 3
Domaine de définition de l'équation
L'équation est définie si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{cases} x^2-1\gt0 \cr \cr x+1 \gt 0\end{cases}
\begin{cases} x\lt -1 \; ou\; x \gt 1 \cr \cr x\gt -1 \end{cases}
Le domaine de définition de l'équation est donc : \left] 1; +\infty \right[.
Résolution de l'équation
\ln \left(x^2-1\right) -\ln\left(x+1\right)= \ln 3
\Leftrightarrow ln\dfrac{x^2-1}{x+1}= \ln 3
\Leftrightarrow \dfrac{x^2-1}{x+1}= 3
\Leftrightarrow \dfrac{x^2-1}{x+1}-3=0
\Leftrightarrow \dfrac{x^2-1-3x-3}{x+1} = 0
\Leftrightarrow \dfrac{x^2-3x-4}{x+1} = 0
On détermine le discriminant du numérateur :
\Delta= b^2-4ac = \left(-3\right)^2-4 \times 1 \times \left(-4\right)= 9+16=25
\Delta \gt 0 donc le dénominateur possède 2 racines distinctes :
x_1 = \dfrac{3-5}{2} = -1
x_2 = \dfrac{3+5}{2} = 4
Compatibilité avec le domaine de définition
L'équation est définie sur \left] 1; +\infty \right[.
4 \in \left] 1; +\infty \right[ mais -1 \notin \left] 1; +\infty \right[.
S=\left\{ 4 \right\}