Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x+3}{x}
On remarque que \dfrac{\ln x +3}{x} = \dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{3}{x} pour tout x \neq 0.
Par croissances comparées, on a : \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} =0.
De plus, \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3}{x} =0.
Ainsi, par somme, on obtient :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x+3}{x} = 0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x-\ln x}{x^3}
On remarque que \dfrac{2x-\ln\left(x\right)}{x^3} = \dfrac{2x}{x^3}-\dfrac{\ln\left(x\right)}{x^3} = \dfrac{2}{x^2}-\dfrac{\ln\left(x\right)}{x^3} pour tout x \neq 0.
Par croissances comparées, on a : \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left(x\right)}{x} =0.
De plus, \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x^2} =0.
Ainsi, par somme, on obtient :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x-\ln\left(x\right)}{x^3} = 0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-4x^2+x-\ln x}{x^2}
On remarque que \dfrac{-4x^2+x-\ln x}{x^2}= \dfrac{-4x^2}{x^2}+\dfrac{x}{x^2} -\dfrac{\ln x}{x^2} =-4+\dfrac{1}{x} -\dfrac{\ln x}{x^2} pour tout x \neq 0.
Par croissances comparées, on a : \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} =0.
Ici, n = 2, donc \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^2} =0.
De plus, \lim\limits_{x \to +\infty} -4+\dfrac{1}{x} =-4.
Ainsi, par somme, on obtient :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-4x^2+x-\ln x}{x^2}=-4
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x+3x^4-7}{x}
On remarque que \dfrac{\ln x+3x^4-7}{x}= \dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{3x^4}{x} -\dfrac{7}{x} =\dfrac{\ln x}{x}+3x^3 -\dfrac{7}{x} pour tout x \neq 0.
Par croissances comparées, on a : \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} =0.
De plus, \lim\limits_{x \to +\infty} 3x^3= +\infty et \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{7}{x}= 0.
Ainsi, par somme, on obtient :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x+3x^4-7}{x} = +\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x+1}{\ln x}
On remarque que cette écriture présente la forme indéterminée \dfrac{\infty}{\infty}.
On peut lever cette indétermination en développant :
\dfrac{x+1}{\ln x}= \dfrac{x}{\ln x} + \dfrac{1}{\ln x}
Or, par croissances comparées, on a : \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0.
Donc \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x}{\ln x}=+\infty.
Or \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\ln x}= 0
On en déduit, par somme :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x+1}{\ln x}= +\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} x-\ln x
On remarque que cette écriture présente la forme indéterminée \infty-\infty.
On peut lever cette indétermination en factorisant par x :
x-\ln x = x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)
Or, par croissances comparées, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0
Donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1-\dfrac{\ln x}{x}=1
Or \lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty
On en déduit, par produit :
\lim\limits_{x \to +\infty} x-\ln x = +\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} x\ln x -x^2+x
On remarque que cette écriture présente la forme indéterminée \infty-\infty.
On peut lever cette indétermination en factorisant par x^2 :
x\ln x -x^2+x = x^2 \left(\dfrac{\ln x}{x} -1+\dfrac{1}{x}\right)
Or, par croissances comparées, on a : \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0
On sait que \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x} =0
Par somme, on a donc : \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x} -1+\dfrac{1}{x} = -1.
Or \lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty.
On en déduit par produit :
\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 \left(\dfrac{\ln x}{x} -1+\dfrac{1}{x}\right) =-\infty
\lim\limits_{x \to +\infty} x\ln x -x^2+x = -\infty