Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x-1
On sait que :
\lim\limits_{x \to0^+} x\ln x = 0
Donc par somme :
\lim\limits_{x \to0^+} x\ln x -1= -1
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 0^+} x^2\ln x-x
On sait que \lim\limits_{x \to0^+} x^n\ln x = 0.
Ici on a n = 2, d'où \lim\limits_{x \to0^+} x^2\ln x = 0
De plus, \lim\limits_{x \to0^+} x = 0
Donc par somme :
\lim\limits_{x \to 0^+} x^2\ln x-x=0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 1^+} \left(x-1\right)\ln \left(x-1\right) +2
On effectue le changement de variable X = x-1.
\lim\limits_{x \to 1^{+}}x-1=0^+
Or \lim\limits_{X \to 0^+} X\ln X =0.
Donc par composée, on obtient :
\lim\limits_{x \to 1^+} \left(x-1\right) \ln\left(x-1\right) = 0.
On en déduit que :
\lim\limits_{x \to 1^+} \left(x-1\right) \ln\left(x-1\right) +2 = 2
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{3}{x\ln x}
On sait que :
\lim\limits_{x \to0^+} x\ln\left(x\right) = 0^-
Et que :
\lim\limits_{x \to 0^{+}} 3 = 3
Donc par quotient :
\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{3}{x\ln\left(x\right)} = -\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{x-2}{x\ln x-1}
On sait que :
\lim\limits_{x \to0^+} x\ln x = 0
Donc :
\lim\limits_{x \to0^+} x\ln x - 1 = -1
Or :
\lim\limits_{x \to 0^+} x-2 = -2
Donc par quotient :
\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{x-2}{x\ln x-1} =2
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{3}{\left(x-3\right)\ln \left(x-3\right)}
On effectue le changement de variable X = x-3 :
\lim\limits_{x \to 3^{+}}x-3=0^+
Or :
\lim\limits_{X \to 0^+} X\ln X =0^-
Donc par composée, on obtient :
\lim\limits_{x \to 3^+} \left(x-3\right) \ln\left(x-3\right) = 0^-.
Or :
\lim\limits_{x \to 3^{+}} 3=3
On en déduit que, par quotient :
\lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{3}{\left(x-3\right)\ln \left(x-3\right)}=-\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 3^+} x\ln \left(x-3\right)+3\ln\left(\dfrac{1}{x-3}\right)
On remarque que 3\ln\left(\dfrac{1}{x-3}\right) = -3\ln \left(x-3\right).
Donc x\ln \left(x-3\right)+3\ln\left(\dfrac{1}{x-3}\right) = x\ln \left(x-3\right) -3\ln\left(x-3\right).
On factorise par \ln\left(x-3\right) , on obtient : x\ln \left(x-3\right)+3\ln\left(\dfrac{1}{x-3}\right) = \left(x-3\right)\ln\left(x-3\right).
On effectue le changement de variable X = x-3.
\lim\limits_{x \to 3^{+}}x-3=0^+
Or \lim\limits_{X \to 0^+} X\ln X =0
Donc par composée, on obtient :
\lim\limits_{x \to 3^+} \left(x-3\right) \ln\left(x-3\right) = 0
Soit :
\lim\limits_{x \to 3^+} x\ln \left(x-3\right)+3\ln\left(\dfrac{1}{x-3}\right) = 0