Quelles sont les solutions sur \left] 0 ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?
\left(\ln x \right)^2 +6lnx +9 = 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré. On effectue donc le changement de variable suivant : lnx = X .
L'équation \left(lnx\right)^2 +6lnx+9 = 0 devient ainsi :
X^2 +6X+9 = 0
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = 6^2-4\times 1 \times 9 = 36-36=0.
\Delta = 0 donc l'équation admet une unique solution.
X_0= \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-6}{2} = -3
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(lnx\right)^2 +6lnx+9 = 0 :
X_0 = -3
\Leftrightarrow lnx_0 = -3
\Leftrightarrow e^{lnx_0} = e^{-3}
\Leftrightarrow x_0 = e^{-3}
S = \left\{ e^{-3} \right\}
Quelles sont les solutions sur \left] 0 ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?
\left(\ln x \right)^2 -3lnx +2 = 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré. On effectue donc le changement de variable suivant : lnx = X .
L'équation \left(\ln x \right)^2 -3lnx +2 = 0 devient ainsi :
X^2 -3X+2 = 0
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = \left(-3\right)^2-4\times 1 \times 2 = 9-8=1.
\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux solutions.
X_1= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3-1}{2} = 1
X_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3+1}{2} = 2
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(\ln x \right)^2 -3lnx +2 = 0 :
X_1 = 1 ou X_2=2
\Leftrightarrow lnx_1 = 1 ou lnx_2 = 2
\Leftrightarrow e^{lnx_1} = e^{1} ou e^{lnx_2} = e^{2}
\Leftrightarrow x_1= e ou x_2= e^2
S = \left\{ e ; e^2\right\}
Quelles sont les solutions sur \left] 0 ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?
2\left(\ln x \right)^2 +lnx+3 = 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré. On effectue donc le changement de variable suivant : lnx = X .
L'équation 2\left(\ln x \right)^2 +lnx+3 = 0 devient ainsi :
2X^2 +X+3 = 0
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = 1^2-4\times 2 \times 3 = -23.
\Delta \lt 0 donc l'équation n'admet pas de solution sur \mathbb{R}.
Résolution de la première équation
L'équation \left(\ln x \right)^2 +2lnx -35 = 0 n'a donc pas de solution sur \mathbb{R}.
S = \left\{ \varnothing\right\}
Quelles sont les solutions sur \left] 0 ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?
\left(\ln x \right)^2 +2lnx -35 = 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré. On effectue donc le changement de variable suivant : lnx = X .
L'équation \left(\ln x \right)^2 +2lnx -35 = 0 devient ainsi :
X^2 +2X-35 = 0
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = 2^2-4\times 1 \times \left(-35\right) = 144.
\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux solutions.
X_1= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2-\sqrt{144}}{2} = -7
X_2= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2+\sqrt{144}}{2} = 5
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(\ln x \right)^2 +2lnx -35 = 0 :
X_1 = -7 ou X_2=5
\Leftrightarrow lnx_1 = -7 ou lnx_2 = 5
\Leftrightarrow e^{lnx_1} = e^{-7} ou e^{lnx_2} = e^{5}
\Leftrightarrow x_1= e^{-7} ou x_2= e^5
S = \left\{ e^{-7} ; e^5\right\}
Quelles sont les solutions sur \left] 0 ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?
\left(\ln x \right)^2 -\sqrt 2 lnx -\dfrac{1}{2} = 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré. On effectue donc le changement de variable suivant : lnx = X .
L'équation \left(\ln x \right)^2 -\sqrt 2 lnx -\dfrac{1}{2} = 0 devient ainsi :
X^2 -\sqrt 2 X -\dfrac{1}{2} = 0
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = \left(-\sqrt 2\right)^2-4\times 1 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 4.
\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux solutions.
X_1= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{\sqrt 2-\sqrt{4}}{2} = \dfrac{\sqrt 2-2}{2}
X_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{\sqrt 2+\sqrt{4}}{2} = \dfrac{\sqrt 2+2}{2}
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(\ln x \right)^2 -\sqrt 2 lnx -\dfrac{1}{2} = 0 :
X_1 = \dfrac{\sqrt 2-2}{2} ou X_2= \dfrac{\sqrt 2+2}{2}
\Leftrightarrow lnx_1 = \dfrac{\sqrt 2-2}{2} ou \Leftrightarrow lnx_2 = \dfrac{\sqrt 2+2}{2}
\Leftrightarrow e^{lnx_1} = e^{ \frac{\sqrt 2-2}{2}} ou \Leftrightarrow e^{lnx_2} = e^{ \frac{\sqrt 2+2}{2}}
\Leftrightarrow x_1= e^{ \frac{\sqrt 2-2}{2}} ou \Leftrightarrow x_2= e^{ \frac{\sqrt 2+2}{2}}
S = \left\{ e^{ \frac{\sqrt 2-2}{2}} ; e^{ \frac{\sqrt 2+2}{2}}\right\}
Quelles sont les solutions sur \left] 0 ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?
\left(\ln x \right)^2 +9lnx+18= 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré. On effectue donc le changement de variable suivant : lnx = X .
L'équation \left(\ln x \right)^2 +9lnx+18= 0 devient ainsi :
X^2 +9X +18 = 0
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = 9^2-4\times 1 \times 18 = 81-72=9.
\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux solutions.
X_1= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-9-\sqrt{9}}{2} = -6
X_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-9+\sqrt{9}}{2} = -3
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(\ln x \right)^2 +9lnx+18= 0 :
X_1 = -6 ou X_2= -3
\Leftrightarrow lnx_1 = -6 ou lnx_2 = -3
\Leftrightarrow e^{lnx_1} = e^{-6} ou e^{lnx_2} = e^{-3}
\Leftrightarrow x_1= e^{-6} ou x_2= e^{-3}
S = \left\{ e^{-6} ; e^{-3}\right\}