Résoudre une inéquation du type ln(u(x))<ln(v(x)) Exercice

L'inéquation est définie si et seulement si 7x+12 \gt 0 :

\Leftrightarrow x \gt -\dfrac{12}{7}
Le domaine de définition de l'inéquation est donc : \left] -\dfrac{12}{7}; +\infty \right[.

\ln \left(7x+12\right) < \ln 3
\Leftrightarrow 7x+12\lt 3

\Leftrightarrow 7x\lt -9

\Leftrightarrow x\lt -\dfrac{9}{7}

L'équation est définie sur \left] -\dfrac{12}{7}; +\infty \right[.

Or, -\dfrac{9}{7} \in \left] -\dfrac{12}{7} ; +\infty \right[.

L'inéquation est définie si et seulement si -2x+9 \gt 0 :

\Leftrightarrow x \lt \dfrac{9}{2}
Le domaine de définition de l'inéquation est donc : \left] -\infty; \dfrac{9}{2} \right[.

\ln \left(-2x+9\right) < 2ln4

\Leftrightarrow \ln \left(-2x+9\right) < ln4^2
\Leftrightarrow -2x+9 \lt 16

\Leftrightarrow -2x\lt 7

\Leftrightarrow x\gt -\dfrac{7}{2}

L'équation est définie sur \left] -\infty; \dfrac{9}{2} \right[.

Or, -\dfrac{7}{2} \in \left] -\infty;\dfrac{9}{2} ; \right[.

L'inéquation est définie si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :

\begin{cases} x-1\gt0 \cr \cr 7x+3 \gt 0 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} x \gt 1 \cr \cr x \gt- \dfrac{3}{7} \end{cases}
Le domaine de définition de l'inéquation est donc : \left] 1; +\infty \right[.

\ln \left(x-1\right) \lt \ln \left(7x+3\right)
\Leftrightarrow x-1 \lt 7x+3
\Leftrightarrow -6x \lt 4

\Leftrightarrow x \gt -\dfrac{2}{3}

L'équation est définie sur \left] 1; +\infty \right[.

Or, \left] -\dfrac{2}{3} ; +\infty \right[\cap\left] 1 ; +\infty \right[=\left] 1 ; +\infty \right[.

L'inéquation est définie si et seulement si x^2-3 \gt 0 :

\Leftrightarrow x^2 \gt 3

\Leftrightarrow x \gt \sqrt 3 ou \Leftrightarrow x \lt -\sqrt 3

Le domaine de définition de l'inéquation est donc : \left] -\infty; -\sqrt 3\right[ \cup \left] \sqrt3; +\infty \right[.

\ln \left(x^2-3\right) \gt ln5

\Leftrightarrow x^2-3 \gt 5

\Leftrightarrow x^2 \gt 8

\Leftrightarrow x \gt 2\sqrt2 ou \Leftrightarrow x \lt- 2\sqrt2

L'équation est définie sur \left] -\infty; -\sqrt 3\right[ \cup \left] \sqrt3; +\infty \right[.

Or, on a :

• -2\sqrt{2} \lt -\sqrt{3}
• 2\sqrt{2} \gt \sqrt{3}

L'inéquation est définie si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :

\begin{cases} 3x^2-x\gt0 \cr \cr x\gt 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} x\left(3x-1\right)\gt0 \cr \cr x\gt 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} x \gt 0 \; ou \; \left(3x-1\right)\gt0 \cr \cr x\gt 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} x \gt 0 \; ou \; x\gt \dfrac{1}{3} \cr \cr x\gt 0 \end{cases}
Le domaine de définition de l'inéquation est donc : \left] \dfrac{1}{3}; +\infty \right[.

\ln \left(3x^2-x\right) < \ln x + \ln 2
\Leftrightarrow \ln \left(3x^2-x\right) < \ln 2x

\Leftrightarrow 3x^2-x < 2x

\Leftrightarrow 3x^2-3x <0

\Leftrightarrow 3x\left(x-1\right) <0

Donc

3x \lt 0 et x-1 \gt 0 soit x \lt 0 et x \gt 1 ce qui est incompatible.

Ou

3x \gt 0 et x-1 \lt 0 soit x \gt 0 et x \lt 1, on obtien x \in \left]0;1 \right[.

L'équation est définie sur \left] \dfrac{1}{3}; +\infty \right[.

L'inéquation est définie si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :

\begin{cases} x+4\gt0 \cr \cr x+1 \gt 0 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} x \gt -4 \cr \cr x \gt- 1 \end{cases}
Le domaine de définition de l'inéquation est donc : \left] -1; +\infty \right[.

\ln \left(x+4\right) \gt 2\ln \left(x+1\right)
\Leftrightarrow \ln \left(x+4\right) \gt \ln \left(x+1\right)^2

\Leftrightarrow x+4 \gt \left(x+1\right)^2

\Leftrightarrow x+4 \gt x^2+2x+1

\Leftrightarrow x^2+x -3 \lt 0

On détermine le discriminant :

\Delta= b^2-4ac = 1^2-4 \times 1 \times \left(-3\right)= 1+12=13

\Delta \gt 0 donc le dénominateur possède 2 racines distinctes :

x_1 = \dfrac{-1 -\sqrt{13}}{2}

x_2 = \dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}

Or on sait qu'un trinôme du second degré est du signe de a à l'extérieur des racines et de -a à l'intérieur des racines.

Donc x^2+3x -3 \lt 0 sur \left] \dfrac{-1 -\sqrt{13}}{2} ; \dfrac{-1 +\sqrt{13}}{2} \right[.

L'équation est définie sur \left]- 1; +\infty \right[.

\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2} \in \left] -1 ; +\infty \right[ mais \dfrac{-1-\sqrt{13}}{2} \notin \left] -1 ; +\infty \right[

L'inéquation est définie si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :

\begin{cases} x+2\gt0 \cr \cr x\gt 0 \cr \cr 3x-1 \gt 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} x\gt-2 \cr \cr x\gt 0 \cr \cr x \gt \dfrac{1}{3} \end{cases}
Le domaine de définition de l'inéquation est donc : \left] \dfrac{1}{3}; +\infty \right[.

\ln \left(x+2\right) +lnx \gt \ln \left(3x-1\right)

\Leftrightarrow \ln x\left(x+2\right) \gt \ln \left(3x-1\right)

\Leftrightarrow x\left(x+2\right) \gt 3x-1

\Leftrightarrow x^2-x +1\gt0

On détermine le discriminant :

\Delta= b^2-4ac = \left(-1\right)^2-4 \times 1 \times 1= 1-4=-3

\Delta \lt 0 donc le dénominateur ne possède pas de racine.

Or on sait qu'un trinôme du second degré est du signe de a à l'extérieur des racines et de -a à l'intérieur des racines.

Donc x^2-x+1 \gt 0 sur \mathbb{R}.

L'équation est définie sur \left]\dfrac{1}{3}; +\infty \right[.