Quelle est l'expression dérivée de la fonction f définie sur \left] 0 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = x^3lnx ?
La fonction f est dérivable sur \left] 0 ; +\infty \right[ en tant que produit de fonctions dérivables sur \left] 0 ; +\infty \right[.
On remarque que f = uv avec, pour tout x appartenant à \left] 0 ; +\infty \right[ :
u\left(x\right) = x^3 et v\left(x\right) = \ln x.
On en déduit que : f ' = u'v+ uv' avec, pour tout x appartenant à \left] 0 ; +\infty \right[ :
u'\left(x\right) = 3x^2 et v'\left(x\right)= \dfrac{1}{x}
On en conclut que :
\forall x \in \left] 0 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) = 3x^2 lnx +x^3 \times \dfrac{1}{x}.
\forall x \in \left] 0 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) = 3x^2 lnx +x^2
Quelle est l'expression dérivée de la fonction f définie sur \left] 0 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = \dfrac{1}{lnx} ?
La fonction f est dérivable sur \left] 0 ; +\infty \right[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur \left] 0 ; +\infty \right[.
On remarque que f = \dfrac{1}{v} avec, pour tout x appartenant à \left] 0 ; +\infty \right[ :
v\left(x\right) = \ln x.
On en déduit que : f ' = -\dfrac{v'}{v^2} avec, pour tout x appartenant à \left] 0 ; +\infty \right[ :
v'\left(x\right)= \dfrac{1}{x}
On en conclut que :
\forall x \in \left] 0 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) = -\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\left(lnx\right)^2} = -\dfrac{1}{x\left(lnx\right)^2}.
\forall x \in \left] 0 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) = = -\dfrac{1}{x\left(lnx\right)^2}
Quelle est l'expression dérivée de la fonction f définie sur \left] 1 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = 2\sqrt{lnx} ?
La fonction f est dérivable sur \left] 0 ; +\infty \right[ en tant que composée de fonctions dérivables sur \left] 0 ; +\infty \right[.
On remarque que f = k \sqrt{u} avec, pour tout x appartenant à \left] 0 ; +\infty \right[ :
u\left(x\right) = \ln x.
On en déduit que : f ' = \dfrac{ku'}{2\sqrt u} avec, pour tout x appartenant à \left] 0 ; +\infty \right[ :
u'\left(x\right)= \dfrac{1}{x}
On en conclut que :
\forall x \in \left] 0 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) = \dfrac{2\times \dfrac{1}{x}}{2\sqrt{lnx}} = \dfrac{1}{x\sqrt{lnx}}.
\forall x \in \left] 0 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) = = \dfrac{1}{x\sqrt{lnx}}
Quelle est l'expression dérivée de la fonction f définie sur \left] 0 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = \dfrac{1}{x} \ln\left(\dfrac{1}{x}\right) ?
La fonction f est dérivable sur \left] 0 ; +\infty \right[ en tant que produit de fonctions dérivables sur \left] 0 ; +\infty \right[.
On remarque que f = uv avec, pour tout x appartenant à \left] 0 ; +\infty \right[ :
u\left(x\right) = \dfrac{1}{x}. et v\left(x\right) = \ln \left(\dfrac{1}{x}\right)
On en déduit que : f ' = u'v +uv' avec, pour tout x appartenant à \left] 0 ; +\infty \right[ :
u'\left(x\right)= -\dfrac{1}{x^2} et v'\left(x\right) = \dfrac{-\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x}} = -\dfrac{1}{x}
On en conclut que :
\forall x \in \left] 0 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) = -\dfrac{1}{x^2}\times \ln\left(\dfrac{1}{x}\right) + \dfrac{1}{x}\times \left(-\dfrac{1}{x}\right)= -\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)+1}{x^2}.
\forall x \in \left] 0 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) = = -\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)+1}{x^2}
Quelle est l'expression dérivée de la fonction f définie sur \left] -2 ; 0 \right[ \cup \left] 0 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = \dfrac{\ln \left(x+2\right)}{x^2} ?
La fonction f est dérivable sur \left] -2 ; 0\right[ \cup\left] 0 ; +\infty \right[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur \left] -2 ; 0\right[ \cup \left] 0 ; +\infty \right[.
On remarque que f = \dfrac{u}{v} avec, pour tout x appartenant à \left] -2 ; 0\right[ \cup \left] 0 ; +\infty \right[ :
u\left(x\right) = \ln \left(x+2\right). et v\left(x\right) = x^2
On en déduit que : f ' = \dfrac{u'v -uv'}{v^2} avec, pour tout x appartenant à \left] -2 ; 0\right[ \cup \left] 0 ; +\infty \right[ :
u'\left(x\right)= \dfrac{1}{x+2} et v'\left(x\right) = 2x
On en conclut que :
\forall x \in \left] -2 ; 0\right[ \cup\left] 0 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) = \dfrac{\dfrac{1}{x+2}\times x^2- \ln\left(x+2\right) \times 2x}{x^4} = \dfrac{\dfrac{x}{x+2}- 2\ln\left(x+2\right)}{x^3} .
\forall x \in \left] -2 ; 0\right[ \cup\left] 0 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) = = \dfrac{\dfrac{x}{x+2}- 2\ln\left(x+2\right)}{x^3}
Quelle est l'expression dérivée de la fonction f définie sur \left] 0 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = \left(\ln x+1\right)\left(\ln x-1\right) ?
La fonction f est dérivable sur \left] 0 ; +\infty \right[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur \left] 0 ; +\infty \right[.
On remarque que f = uv avec, pour tout x appartenant à \left] 0 ; +\infty \right[ :
u\left(x\right) = \ln x+1. et v\left(x\right) = \ln x-1
On en déduit que : f ' = u'v +uv' avec, pour tout x appartenant à \left] 0 ; +\infty \right[ :
u'\left(x\right)= \dfrac{1}{x} et v'\left(x\right) = \dfrac{1}{x}
On en conclut que :
\forall x \in \left] 0 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) = \dfrac{1}{x}\times \left(lnx-1\right) +\left(\ln x+1\right) \times\dfrac{1}{x} = \dfrac{lnx-1 +lnx+1}{x}= \dfrac{2\ln x }{x}.
\forall x \in \left] 0 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) = \dfrac{2\ln x }{x}
Quelle est l'expression dérivée de la fonction f définie sur \left] -1 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = \left(x+1\right)\left(\ln \sqrt{x+1}\right) ?
La fonction f est dérivable sur \left] -1 ; +\infty \right[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur \left] -1 ; +\infty \right[.
On remarque que f = uv avec, pour tout x appartenant à \left] -1 ; +\infty \right[ :
u\left(x\right) = x+1. et v\left(x\right) = \ln\left(\sqrt{x+1}\right)
On en déduit que : f ' = u'v +uv' avec, pour tout x appartenant à \left] -1 ; +\infty \right[ :
u'\left(x\right)= 1 et v'\left(x\right) = \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{\sqrt{x+1}} = \dfrac{1}{2x+2}
On en conclut que :
\forall x \in \left] -1 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) =\left(x+1\right) \times \dfrac{1}{2x+2}+1\times \ln\left(\sqrt{x+1}\right) = \dfrac{1}{2}+\ln\left(\sqrt{x+1}\right).
\forall x \in \left] -1 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) = \dfrac{1}{2}+\ln\left(\sqrt{x+1}\right)