Un agriculteur dispose de 6800 m de grillage avec lesquels il souhaite clôturer deux terrains : un carré de côté x et un rectangle de largeur 5x et de longueur y.
Quelles sont les dimensions du carré et du rectangle pour que l'aire des terrains clôturés soit maximale ?
Soit A l'aire des deux terrains.
- L'aire du terrain carré est : x^2
- L'aire du terrain rectangle est : 5xy
Ainsi, on a : A=x^2+5xy
Cette expression dépend de deux variables. Pour étudier son maximum, on peut au préalable chercher à se ramener à une expression avec une seule variable.
Exprimer l'aire en fonction de x
On sait que le périmètre total des terrains clôturés est égal à 6800 m.
- Le périmètre du terrain carré est : 4x
- Le périmètre du terrain rectangulaire est : 10x+2y
Ainsi on a :
4x+10x+2y=6\ 800
\Leftrightarrow 14x+2y=6\ 800
\Leftrightarrow 7x+y=3\ 400
\Leftrightarrow y=3\ 400-7x
Comme x et y représentent des longueurs, on a : x\geqslant0 et y\geqslant0\Leftrightarrow3\ 400-7x\geqslant0\Leftrightarrow x\leqslant\dfrac{3\ 400}{7}
Ainsi, on peut exprimer l'aire uniquement en fonction de x, sur \left[ 0;\dfrac{3\ 400}{7} \right] :
A\left(x\right)=x^2+5x\left(3\ 400-7x\right)
A\left(x\right)=x^2+17\ 000x-35x^2
A\left(x\right)=-34x^2+17\ 000x
Etudier la fonction A\left(x\right)
A est une fonction trinôme donc elle est dérivable sur son ensemble de définition.
Ainsi, pour tout x\in\left[ 0;\dfrac{3\ 400}{7} \right], on a : A'\left(x\right)=-68x+17\ 000
On a :
-68x+17\ 000\gt0\Leftrightarrow-68x\gt-17\ 000\Leftrightarrow68x\lt17\ 000\Leftrightarrow x\lt250
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative, on obtient donc le tableau de variations suivant :
L'aire des terrains est donc maximale pour :
- x=250
- y=3\ 400-7\times250=3\ 400-1\ 750=1\ 650
Quelle est la valeur de cette aire maximale ?
L'aire maximale est atteinte pour x=250
A\left(100\right)=-34\times250^2+17\ 000\times250=2\ 125\ 000
L'aire maximale des deux terrains est donc égale à : 2 125 000 m^2.