Retrouver l'expression d'une fonction Problème

Par lecture graphique, on trouve :

• f\left(-1\right)=7
• f\left(2\right)=4

f'\left(-1\right) est le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse -1.

Les points A\left(-1;7\right) et C\left(1;-1\right) appartiennent à cette tangente. Son coefficient directeur est donc :

a=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{-1-7}{1-\left(-1\right)}=\dfrac{-8}{2}=-4

Pour déterminer une expression de f\left(x\right), il faut trouver les valeurs de a, b et c.

On a besoin de la valeur de f'\left(-1\right).

Comme f est une fonction polynôme, elle est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout x\in\mathbb{R}, on a :

f'\left(x\right)=2ax+b

D'après les questions précédentes, on a :

\begin{cases} f\left(-1\right)=7 \cr \cr f\left(2\right)=4 \cr \cr f'\left(-1\right)=-4 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} a\times\left(-1\right)^2+b\times\left(-1\right)+c=7 \cr \cr a\times2^2+b\times2+c=4 \cr \cr 2a\times\left(-1\right)+b=-4 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} a-b+c=7 \cr \cr 4a+2b+c=4 \cr \cr -2a+b=-4 \end{cases}

On soustrait la première ligne à la deuxième pour éliminer l'inconnue c :

\Leftrightarrow\begin{cases} a-b+c=7 \cr \cr 3a+3b=-3 \cr \cr -2a+b=-4 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} a-b+c=7 \cr \cr a+b=-1 \cr \cr -2a+b=-4 \end{cases}

On soustrait la deuxième ligne à la troisième pour éliminer l'inconnue b :

\Leftrightarrow\begin{cases} a-b+c=7 \cr \cr a+b=-1 \cr \cr -3a=-3 \end{cases}

On en déduit que a=1

\Leftrightarrow\begin{cases} 1-b+c=7 \cr \cr 1+b=-1 \cr \cr a=1 \end{cases}

On en déduit que b=-2

\Leftrightarrow\begin{cases} 1-\left(-2\right)+c=7 \cr \cr b=-2 \cr \cr a=1 \end{cases}

On en déduit que c=4

\Leftrightarrow\begin{cases} c=4 \cr \cr b=-2 \cr \cr a=1 \end{cases}