Retrouver l'expression d'une fonction Problème

Par lecture graphique, on trouve :

• f\left(-1\right)=-4
• f\left(0\right)=-3

f'\left(-1\right) est le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse -1.

Les points A\left(-1;4\right) et C\left(-3;2\right) appartiennent à cette tangente. Son coefficient directeur est donc :

a=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{2-\left(-4\right)}{-3-\left(-1\right)}=\dfrac{6}{-2}=-3

Pour déterminer une expression de f\left(x\right), il faut trouver les valeurs de a, b et c.

On a besoin de la valeur de f'\left(-1\right).

Comme f est une fonction polynôme, elle est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout x\in\mathbb{R}, on a :

f'\left(x\right)=3ax^2+b

D'après les questions précédentes, on a :

\begin{cases} f\left(-1\right)=-4 \cr \cr f\left(0\right)=-3 \cr \cr f'\left(-1\right)=-3 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} a\times\left(-1\right)^3+b\times\left(-1\right)+c=2 \cr \cr a\times0^3+b\times0+c=-3 \cr \cr 3a\times\left(-1\right)^2+b=-3 \end{cases}

On trouve c=-3

\Leftrightarrow\begin{cases} -a-b-3=2 \cr \cr c=-3 \cr \cr 3a+b=-3 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases}-a-b=-1 \cr \cr c=-3 \cr \cr 3a+b=-3 \end{cases}

On ajoute la première ligne à la troisième pour éliminer l'inconnue b :

\Leftrightarrow\begin{cases}-a-b=-1 \cr \cr c=-3 \cr \cr 2a=-4 \end{cases}

On trouve a=-2

\Leftrightarrow\begin{cases}-\left(-2\right)-b=-1 \cr \cr c=-3 \cr \cr a=-2\end{cases}

On trouve b=3

\Leftrightarrow\begin{cases} b=3 \cr \cr c=-3 \cr \cr a=-2\end{cases}