Retrouver l'expression d'une fonction Problème

Par lecture graphique, on trouve :

• f\left(-1\right)=-2
• f\left(1\right)=2

f'\left(-1\right) est le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse -1.

Les points A\left(-1;2\right) et C\left(-3;6\right) appartiennent à cette tangente. Son coefficient directeur est donc :

a=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{6-\left(-2\right)}{-3-\left(-1\right)}=\dfrac{8}{-2}=-4

Pour déterminer une expression de f\left(x\right), il faut trouver les valeurs de a, b et c.

On a besoin de la valeur de f'\left(-1\right).

Comme f est une fonction polynôme, elle est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout x\in\mathbb{R}, on a :

f'\left(x\right)=2ax+b

D'après les questions précédentes, on a :

\begin{cases} f\left(-1\right)=-2 \cr \cr f\left(1\right)=2 \cr \cr f'\left(-3\right)=6 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} a\times\left(-1\right)^2+b\times\left(-1\right)+c=-2 \cr \cr a\times1^2+b\times1+c=2 \cr \cr 2a\times\left(-1\right)+b=-4 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} a-b+c=-2 \cr \cr a+b+c=2 \cr \cr -2a+b=-4 \end{cases}

On soustrait la première ligne à la deuxième pour éliminer les inconnues a et c :

\Leftrightarrow\begin{cases} a-b+c=-2 \cr \cr 2b=4 \cr \cr -2a+b=-4 \end{cases}

On trouve b=2

\Leftrightarrow\begin{cases} a-2+c=-2 \cr \cr b=2 \cr \cr -2a+2=-4 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} a+c=0 \cr \cr b=2 \cr \cr -2a=-6 \end{cases}

On trouve a=3

\Leftrightarrow\begin{cases} 3+c=0 \cr \cr b=2 \cr \cr a=3 \end{cases}

On trouve c=-3

\Leftrightarrow\begin{cases} c=-3 \cr \cr b=2 \cr \cr a=3 \end{cases}