Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f\left(x\right)=ax^3+bx+c.
La courbe représentative de f, notée C_f est la suivante :
Quelles sont les valeurs de f\left(-1\right) et f\left(1\right) ?
Par lecture graphique, on trouve :
- f\left(-1\right)=2
- f\left(1\right)=0
- f\left(-1\right)=2
- f\left(1\right)=0
Quelle est la valeur de f'\left(1\right) ?
f'\left(1\right) est le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse 1.
Les points A\left(1;0\right) et C\left(4;3\right) appartiennent à cette tangente. Son coefficient directeur est donc :
a=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{3-0}{4-1}=\dfrac{3}{3}=1
Ainsi : f'\left(1\right)=1.
Quelle est l'expression de f\left(x\right) ?
Pour déterminer une expression de f\left(x\right), il faut trouver les valeurs de a, b et c.
On a besoin de la valeur de f'\left(1\right).
Comme f est une fonction polynôme, elle est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=3ax^2+b
D'après les questions précédentes, on a :
\begin{cases} f\left(-1\right)=2 \cr \cr f\left(1\right)=0 \cr \cr f'\left(1\right)=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} a\times\left(-1\right)^3+b\times\left(-1\right)+c=2 \cr \cr a\times1^3+b\times1+c=0 \cr \cr 3a\times1^2+b=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} -a-b+c=2 \cr \cr a+b+c=0 \cr \cr 3a+b=1 \end{cases}
On ajoute la première ligne à la deuxième pour éliminer les inconnues a et b :
\Leftrightarrow\begin{cases} 2c=2 \cr \cr a+b+c=0 \cr \cr 3a+b=1 \end{cases}
On trouve c=1
\Leftrightarrow\begin{cases} c=1 \cr \cr a+b+1=0 \cr \cr 3a+b=1 \end{cases}
On soustrait la deuxième ligne à la troisième pour éliminer l'inconnue b :
\Leftrightarrow\begin{cases} c=1 \cr \cr a+b+1=0 \cr \cr 2a-1=1 \end{cases}
On trouve a=1
\Leftrightarrow\begin{cases} c=1 \cr \cr 1+b+1=0 \cr \cr a=1 \end{cases}
On trouve b=-2
\Leftrightarrow\begin{cases} c=1 \cr \cr b=-2 \cr \cr a=1 \end{cases}
Finalement, pour tout x\in\mathbb{R}, f\left(x\right)=x^3-2x+1