Les propriétés caractéristiques de l'exponentielle
La caractérisation
Fonction exponentielle
La fonction exponentielle, notée \exp, est l'unique fonction f telle que :
- f est dérivable sur \mathbb{R}
- f' = f
- f\left(0\right) = 1
Pour tous réels x et y :
\exp\left(x + y\right) = \exp\left(x\right) \times \exp\left(y\right)
On note e le nombre \exp\left(1\right). On a : e\approx 2{,}718.
Le signe
Pour tout réel x,
e^{x} \gt 0
Soit la fonction f définie pour tout réel x par :
f\left(x\right)=e^{-2x}
La fonction f est strictement positive sur \mathbb{R}.
Les propriétés algébriques
Soient deux réels x et y :
e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y
e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y
La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances. Soient deux réels x et y, et un entier relatif n :
e^{x+y} = e^{x} e^{y}
e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}
e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^{y}}
\left(e^{x}\right)^{n} = e^{nx}
Étude de la fonction exponentielle
Les limites
Limites
Les limites de la fonction exponentielle aux bornes de son ensemble de définition sont :
\lim\limits_{x \to -\infty } e^{x} = 0
\lim\limits_{x \to +\infty } e^{x} = + \infty
Croissances comparées
\lim\limits_{x \to -\infty } x e^{x} = 0
\lim\limits_{x \to +\infty }\dfrac{e^x}{x}= + \infty
Taux d'accroissement
Le nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 étant égal à 1 :
\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{x} - 1}{x}= 1
La dérivée
Dérivée
La fonction exponentielle est dérivable (et donc continue) sur \mathbb{R}. Pour tout réel x :
\exp'\left(x\right) = \exp\left(x\right) = e^{x}
Dérivée de e^{u}
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La composée e^{u} est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :
\left(e^{u}\right)'\left(x\right) = u'\left(x\right) e^{u\left(x\right)}
Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=e^{3x+6}. On pose, pour tout réel x :
- u\left(x\right)=3x+6
- Comme fonction affine, u est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, u'\left(x\right)=3
f=e^u, donc f est dérivable sur \mathbb{R} et f'=u'e^u. Ainsi, pour tout réel x :
f'\left(x\right)=3e^{3x+6}
