Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{3x+1} \lt e^{5x}
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, donc :
e^{3x+1} < e^{5x}
\Leftrightarrow 3x+1 < 5x
\Leftrightarrow 3x-5x<-1
\Leftrightarrow -2x<-1
\Leftrightarrow x>\dfrac{-1}{-2}
\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2}
S=\left] \dfrac{1}{2} ; +\infty \right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{-3x+1}>e^{-x-3}
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, donc :
e^{-3x+1} > e^{-x-3}
\Leftrightarrow -3x+1 > -x-3
\Leftrightarrow -3x+x>-3-1
\Leftrightarrow -2x>-4
\Leftrightarrow x<\dfrac{-4}{-2}
\Leftrightarrow x<2
S=\left] -\infty ; 2\right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{4-2x}>e^{6}
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, donc :
e^{4-2x} > e^{6}
\Leftrightarrow 4-2x >6
\Leftrightarrow -2x>2
\Leftrightarrow x<\dfrac{2}{-2}
\Leftrightarrow x<-1
S=\left] -\infty ; -1\right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{2x^2-3}>e^{x-4}
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, donc :
e^{2x^2-3}>e^{x-4}
\Leftrightarrow 2x^2-3>x-4
\Leftrightarrow 2x^2-x+1>0
\Delta = \left(-1\right)^2 -4\times2 \times1=1-8=-7
Le discriminant du polynôme du second degré est négatif. Le polynôme est donc du signe du coefficient de x^{2}, c'est-à-dire positif.
L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc l'ensemble des réels.
S=\mathbb{R}
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{x^2+x-7} \lt e^{x+2}
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, donc :
e^{x^2+x-7} \lt e^{x+2}
\Leftrightarrow x^2+x-7<x+2
\Leftrightarrow x^2-9<0
\Leftrightarrow \left(x-3\right)\left(x+3\right)<0
Le polynôme du second degré est du signe contraire du coefficient de x^{2} entre les deux racines qui sont -3 et 3. C'est-à-dire négatif.
Donc les solutions de l'inéquation sont les valeurs strictement comprises entre -3 et 3.
S=\left] -3 ; 3\right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{-x-3x^2}>e^{-2x+1}
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, donc :
e^{-x-3x^2}>e^{-2x+1}
\Leftrightarrow -x-3x^2>-2x+1
\Leftrightarrow -3x^2+x-1>0
On étudie le signe du trinôme du second degré. Pour cela, on calcule son discriminant.
\Delta = 1^2-4\times\left(-3\right)\times\left(-1\right)=1-12=-11
Le discriminant du trinôme du second degré est négatif. Le trinôme est donc toujours du signe du coefficient de x^{2}, c'est-à-dire négatif.
L'inéquation n'admet pas de solution.
S=\varnothing
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{-x^2+2x-2} \lt e^{-x-2}
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, donc :
e^{-x^2+2x-2} \lt e^{-x-2}
\Leftrightarrow -x^2+2x-2<-x-2
\Leftrightarrow -x^2+3x<0
\Leftrightarrow x\left(-x+3\right)<0
On détermine le signe de cette expression :
- x>0 sur \mathbb{R}_+
- -x+3>0\Leftrightarrow x<3
On dresse un tableau de signes :
S=\left] -\infty;0 \right[\cup\left] 3 ;+\infty\right[