01 76 38 08 47
Logo Kartable
AccueilParcourirRechercheSe connecter

Pour profiter de 10 contenus offerts.

Logo Kartable
AccueilParcourirRechercheSe connecter

Pour profiter de 10 contenus offerts.

  1. Accueil
  2. Terminale
  3. Mathématiques
  4. Méthode : Dériver une fonction comportant une exponentielle

Dériver une fonction comportant une exponentielle Méthode

Sommaire

Méthode 1Si la fonction est de la forme e^{u\left(x\right)} 1Justifier la dérivabilité 2Poser u\left(x\right) et calculer sa dérivée 3Enoncer la formule 4Appliquer la formuleMéthode 2Si l'exponentielle apparaît au sein des formules usuelles 1Justifier la dérivabilité 2Identifier la formule utilisée 3Poser les fonctions intermédiaires et calculer leurs dérivées 4Enoncer la formule 5Appliquer la formule
Méthode 1

Si la fonction est de la forme e^{u\left(x\right)}

Si une fonction u est dérivable sur I, la fonction f définie par f=e^u est dérivable sur I et a pour dérivée f'=u'e^u.

On considère la fonction f définie par :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = e^{x^3-5x^2+7x}

Calculer f', la fonction dérivée de f.

Etape 1

Justifier la dérivabilité

On justifie la dérivabilité de la fonction f sur son intervalle I.

La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que composée de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.

Etape 2

Poser u\left(x\right) et calculer sa dérivée

On donne l'expression de la fonction u telle que f=e^u. Ensuite, on calcule sa dérivée.

On pose :

\forall x \in \mathbb{R}, u\left(x\right) = x^3-5x^2+7x

On en déduit que :

\forall x \in \mathbb{R}, u'\left(x\right) = 3x^2-10x+7

Etape 3

Enoncer la formule

On rappelle que, comme la fonction f est de la forme f= e^u, alors f'= u'e^u.

f=e^u, donc f'=u'e^u.

Etape 4

Appliquer la formule

On applique la formule et on conclut en donnant f'.

On en déduit que :

\forall x \in\mathbb{R}, f'\left(x\right) = \left(3x^2-10x+7\right)e^{x^3-5x^2+7x}

Méthode 2

Si l'exponentielle apparaît au sein des formules usuelles

Afin de dériver une fonction dans laquelle apparaît une exponentielle, on utilise les formules de dérivation du cours.

On considère la fonction f définie par :

\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}, f\left(x\right) = \dfrac{2e^x}{x+1}

Calculer f', la fonction dérivée de f.

Etape 1

Justifier la dérivabilité

On justifie la dérivabilité de la fonction f sur son intervalle I.

La fonction f est dérivable sur tout intervalle inclus dans \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\} en tant que quotient de fonctions dérivables sur tout intervalle inclus dans \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\} dont le dénominateur ne s'annule pas sur \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}.

Etape 2

Identifier la formule utilisée

Selon la forme de f, on détermine si l'on va utiliser la formule de dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient ou d'une composée de fonctions.

On remarque que f= \dfrac{u}{v}.

Etape 3

Poser les fonctions intermédiaires et calculer leurs dérivées

On introduit les fonctions intermédiaires qui permettent d'exprimer f. On introduit autant de fonctions intermédiaires que nécessaire.

On dérive ensuite chacune des fonctions intermédiaires.

On pose que, \forall x \in \mathbb{R} :

  • u\left(x\right) = 2e^x
  • v\left(x\right) = x+1

On en déduit que, \forall x \in \mathbb{R} :

  • u'\left(x\right) = 2e^x
  • v'\left(x\right) =1
Etape 4

Enoncer la formule

On énonce la formule de f' correspondant à la forme de f.

On a :

f' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Etape 5

Appliquer la formule

On applique la formule pour obtenir l'expression de f'. On simplifie le résultat de manière à aboutir à une forme dont on peut facilement déterminer le signe, puisqu'il s'agit généralement de la tâche à effectuer ensuite.

En appliquant la formule, on obtient :

\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}, f'\left(x\right) = \dfrac{2e^x \left(x+1\right)-2e^x\times 1}{\left(x+1\right)^2}

On simplifie :

\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}, f'\left(x\right) = \dfrac{2xe^x }{\left(x+1\right)^2}

Voir aussi
  • Cours : La dérivation
  • Quiz : La dérivation
  • Exercice : Connaître la dérivée d'une fonction composée
  • Exercice : Déterminer le domaine de dérivabilité d'un fonction composée par une fonction carré
  • Exercice : Déterminer le domaine de dérivabilité d'un fonction composée par une fonction cube
  • Exercice : Déterminer le domaine de dérivabilité d'un fonction composée par une fonction inverse
  • Exercice : Déterminer le domaine de dérivabilité d'un fonction composée par une fonction racine carrée
  • Exercice : Déterminer le domaine de dérivabilité d'un fonction composée par une fonction puissance
  • Exercice : Déterminer le domaine de dérivabilité d'un fonction composée
  • Exercice : Dériver une fonction composée par une fonction carré
  • Exercice : Dériver une fonction composée par une fonction cube
  • Exercice : Dériver une fonction composée par une fonction inverse
  • Exercice : Dériver une fonction composée par une fonction racine carrée
  • Exercice : Dériver une fonction composée par une fonction puissance
  • Exercice : Dériver une fonction composée par une fonction
  • Exercice : Calculer la dérivée seconde d'une fonction usuelle
  • Exercice : Calculer la dérivée seconde d'une fonction composée
  • Exercice : Calculer la dérivée seconde de plusieurs opérations de fonctions usuelles
  • Exercice : Calculer la dérivée seconde de plusieurs opérations de fonctions composées
  • Exercice : Connaître les caractéristiques de la convexité
  • Exercice : Déterminer graphiquement si une fonction simple est convexe ou concave
  • Exercice : Déterminer graphiquement les intervalles où une fonction est convexe ou concave à l'aide de la courbe représentative de la fonction
  • Exercice : Déterminer graphiquement les intervalles où une fonction est convexe ou concave à l'aide de la courbe représentative de la dérivée
  • Exercice : Déterminer graphiquement les intervalles où une fonction est convexe ou concave à l'aide de la courbe représentative de la dérivée seconde
  • Exercice : Déterminer si une fonction usuelle est convexe ou concave
  • Exercice : Déterminer si une fonction composée est convexe ou concave
  • Exercice : Déterminer si une opération de fonctions usuelles est convexe ou concave
  • Exercice : Déterminer si une opération de fonctions composées est convexe ou concave
  • Exercice : Déterminer graphiquement le point d'inflexion d'une fonction
  • Exercice : Déterminer le point d'inflexion d'une fonction usuelle
  • Exercice : Déterminer le point d'inflexion d'une fonction composée
  • Exercice : Déterminer le point d'inflexion d'une opération de fonctions usuelles
  • Exercice : Déterminer le point d'inflexion d'une opération de fonctions composées
  • Exercice : Esquisser l’allure de la courbe représentative d’une fonction à partir de son tableau de variation
  • Exercice : Esquisser l’allure de la courbe représentative d’une fonction à partir du tableau de variation de sa dérivée
  • Exercice : Esquisser l’allure de la courbe représentative d’une fonction à partir du tableau de variation de sa dérivée seconde
  • Problème : Etudier les variations et les limites d'une fonction construite simplement à partir des fonctions usuelles
  • Problème : Etudier les variations et les limites d'une fonction construite simplement à partir des fonctions composées
  • Problème : Etudier les variations et les limites d'une fonction construite simplement à partir d'opérations de fonctions usuelles
  • Problème : Etudier les variations et les limites d'une fonction construite simplement à partir d'opérations de fonctions composées
  • Problème : Etudier la convexité d’une fonction usuelle
  • Problème : Etudier la convexité d’une fonction composée
  • Problème : Etudier la convexité de plusieurs opérations de fonctions usuelles
  • Problème : Etudier la convexité de plusieurs opérations de fonctions composées
  • Exercice : Démontrer que si la dérivée seconde de f est positive, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes
  • Méthode : Réaliser une étude de fonction

Nos conseillers pédagogiques sont à votre écoute 7j/7

Nos experts chevronnés sont joignables par téléphone et par e-mail pour répondre à toutes vos questions.
Pour comprendre nos services, trouver le bon accompagnement ou simplement souscrire à une offre, n'hésitez pas à les solliciter.

support@kartable.fr
01 76 38 08 47

Téléchargez l'application

Logo application Kartable
KartableWeb, iOS, AndroidÉducation

4,5 / 5  sur  20256  avis

0.00
app androidapp ios
  • Contact
  • Aide
  • Livres
  • Mentions légales
  • Recrutement

© Kartable 2025