Quelles sont les solutions de l'équation suivante sur \mathbb{R} ?
\left(e^{x}\right)^2 +2e^x-3 = 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré, on effectue donc le changement de variable suivant : e^x = X .
L'équation \left(e^{x}\right)^2 +2e^x-3 = 0 devient ainsi X^2 +2X-3 = 0.
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = 2^2-4\times 1 \times \left(-3\right) = 16 .
\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux solutions.
- X_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 -4}{2} = -3
- X_2= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 +4}{2} = 1
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(e^{x}\right)^2 +2e^x-3 = 0 :
X_1 = -3
\Leftrightarrow e^{x_1} = -3
Or e^x \gt 0 donc e^{x_1} =-3 n'a pas de solution sur \mathbb{R}
De même :
X_2 =1
\Leftrightarrow e^{x_2} =1
\Leftrightarrow x_2 = 0
S=\left\{ 0 \right\}
Quelles sont les solutions de l'équation suivante sur \mathbb{R} ?
\left(e^{x}\right)^2 -3e^x+2 = 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré, on effectue donc le changement de variable suivant : e^x = X .
L'équation \left(e^{x}\right)^2 -3e^x+2 = 0 devient ainsi X^2 -3X+2= 0.
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = \left(-3\right)^2-4\times 1 \times 2 = 1.
\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux solutions.
- X_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 -1}{2} = 1
- X_2= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 +1}{2} = 2
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(e^{x}\right)^2 +2e^x-3 = 0 :
X_1 = 1
\Leftrightarrow e^{x_1} = 1
\Leftrightarrow \ln\left(e^{x_1}\right) = \ln \left(1\right)
\Leftrightarrow x_1=0
De même :
X_2 =2
\Leftrightarrow e^{x_2} =2
\Leftrightarrow \ln\left(e^{ x_2}\right) = \ln\left(2\right)
\Leftrightarrow x_2 =\ln\left(2\right)
S=\left\{ 0; \ln \left(2\right) \right\}
Quelles sont les solutions de l'équation suivante sur \mathbb{R} ?
\left(e^{x}\right)^2 -2e^x+1 = 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré, on effectue donc le changement de variable suivant : e^x = X .
L'équation \left(e^{x}\right)^2 -2e^x+1 = 0 devient ainsi X^2 -2X+1 = 0.
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = \left(-2\right)^2-4\times 1 \times 1 = 0.
\Delta = 0 donc l'équation admet une seule solution.
- X_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{2}{2} = 1
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(e^{x}\right)^2 -2e^x+1 = 0 :
X_0= 1
\Leftrightarrow e^{x_0} = 1
\Leftrightarrow x_0 = 0
S = \left\{ 0\right\}
Quelles sont les solutions de l'équation suivante sur \mathbb{R} ?
\left(e^{x}\right)^2 -\sqrt{2}e^x+\dfrac{1}{4}= 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré, on effectue donc le changement de variable suivant : e^x = X .
L'équation \left(e^{x}\right)^2 -\sqrt{2}e^x+\dfrac{1}{4} = 0 devient ainsi X^2 -\sqrt{2}X+\dfrac{1}{4}= 0.
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = \left(-\sqrt{2}\right)^2-4\times 1 \times \dfrac{1}{4} = 1.
\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux solutions.
- X_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{\sqrt{2} -1}{2}
- X_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{\sqrt{2} +1}{2}
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(e^{x}\right)^2 -\sqrt{2}e^x+\dfrac{1}{4} = 0 :
X_1 = \dfrac{\sqrt{2} -1}{2}
\Leftrightarrow e^{x_1} = \dfrac{\sqrt{2} -1}{2}
\Leftrightarrow \ln\left(e^{x_1}\right) = \ln \left( \dfrac{\sqrt{2} -1}{2}\right)
\Leftrightarrow x_1=\ln \left( \dfrac{\sqrt{2} -1}{2}\right)
De même :
X_2 = \dfrac{\sqrt{2} +1}{2}
\Leftrightarrow e^{x_2} = \dfrac{\sqrt{2} +1}{2}
\Leftrightarrow \ln\left(e^{ x_2}\right) = \ln \left( \dfrac{\sqrt{2} +1}{2}\right)
\Leftrightarrow x_2 =\ln\left( \dfrac{\sqrt{2} +1}{2}\right)
S=\left\{ \ln\left(\dfrac{\sqrt{2} -1}{2}\right); \ln\left(\dfrac{\sqrt{2} +1}{2} \right)\right\}
Quelles sont les solutions de l'équation suivante sur \mathbb{R} ?
2\left(e^{x}\right)^2 +4e^x+2 = 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré, on effectue donc le changement de variable suivant : e^x = X .
L'équation 2\left(e^{x}\right)^2 +4e^x+2 = 0 devient ainsi 2X^2 +4X+2 = 0.
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = 4^2-4\times 2 \times 2 = 0.
\Delta = 0 donc l'équation admet une seule solution.
- X_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-4}{4} = -1
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(e^{x}\right)^2 +2e^x-3 = 0 :
X_0= -1
\Leftrightarrow e^{x_0} = -1
Or e^x \gt 0 donc e^{x_0} =-1 n'a pas de solution sur \mathbb{R}
L'équation 2\left(e^{x}\right)^2 +4e^x+2 = 0 n'admet pas de solution sur \mathbb{R}.
Quelles sont les solutions de l'équation sur \mathbb{R} ?
\left(e^{x}\right)^2 -6e^x+9 = 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré, on effectue donc le changement de variable suivant : e^x = X .
L'équation \left(e^{x}\right)^2 -6e^x+9 = 0 devient ainsi X^2 -6X+9 = 0.
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = \left(-6\right)^2-4\times 1 \times 9 = 0.
\Delta = 0 donc l'équation admet une seule solution.
- X_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{6}{2} = 3
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(e^{x}\right)^2 -6e^x+9 = 0 :
X_0=3
\Leftrightarrow e^{x_0} = 3
\Leftrightarrow \ln\left(e^{x_0}\right) = \ln 3
\Leftrightarrow x_0 = \ln 3
S = \left\{ ln3 \right\}
Quelles sont les solutions de l'équation suivante sur \mathbb{R} ?
\left(e^{x}\right)^2 -7e^x+12 \gt 0
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré, on effectue donc le changement de variable suivant : e^x = X .
L'inéquation \left(e^{x}\right)^2 -7e^x+12 \gt 0 devient ainsi X^2 -7X+12 \gt 0.
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = \left(-7\right)^2-4\times 1 \times 12 = 49-48 = 1.
\Delta \gt 0 donc le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -a à l'intérieur des racines. On calcule les racines, on obtient :
- X_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{7-1}{2} = 3
- X_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{7+1}{2} = 4
Donc X^2 -7x+12 \gt 0 sur \left]-\infty ; 3 \right[ \cup \left] 4 ; +\infty\right[
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(e^{x}\right)^2 -7e^x+12 \gt 0 :
X_1 = 3
\Leftrightarrow e^{x_1} = 3
\Leftrightarrow \ln\left(e^{x_1}\right) = \ln 3
\Leftrightarrow x_1=\ln 3
De même :
X_2 =4
\Leftrightarrow e^{x_2} =4
\Leftrightarrow \ln\left(e^{ x_2}\right) = ln4
\Leftrightarrow x_2=\ln 4
Donc \left(e^{x}\right)^2 -7e^x+12 \gt 0 sur \left]-\infty ; ln3 \right[ \cup \left]ln 4 ; +\infty\right[
S= \left]-\infty ; ln3 \right[ \cup \left]ln 4 ; +\infty\right[