Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to -\infty} x^4e^x
D'après le cours on sait que, pour tout entier naturel n :
\lim\limits_{x \to -\infty} x^n e^x = 0.
Ici on a n = 4, d'où \lim\limits_{x \to -\infty} x^4 e^x = 0.
\lim\limits_{x \to -\infty} x^4 e^x = 0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2}
D'après le cours on sait que, pour tout entier naturel n :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty.
Ici on a n = 2, d'où \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2} = +\infty.
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2} = +\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to -\infty} x^7e^x
D'après le cours on sait que, pour tout entier naturel n :
\lim\limits_{x \to -\infty} x^n e^x = 0.
Ici on a n = 7, d'où \lim\limits_{x \to -\infty} x^7 e^x = 0.
\lim\limits_{x \to -\infty}x^7e^x = 0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^3}
D'après le cours on sait que, pour tout entier naturel n :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty.
Ici on a n = 3, d'où \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^3} = +\infty.
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^3} = +\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x+3}}{x}
On sait que \lim\limits_{x \to +\infty} 2x+3 = +\infty
Donc \lim\limits_{x \to +\infty} e^{2x+3} = +\infty
On sait aussi que \lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty
Donc le quotient présente une indétermination de la forme \dfrac{\infty}{\infty}.
Pour lever cette indétermination on reconnaît la forme \dfrac{e^{x}}{x} :
\dfrac{e^{2x+3}}{x} = \dfrac{e^{x}\times e^x\times e^3}{x} = e^3\times e^x\times \dfrac{e^{x}}{x}
Or d'après le cours on sait que, pour tout entier naturel n :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty
Ici on a n = 1, d'où \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x}}{x} = +\infty.
De plus, \lim\limits_{x \to +\infty} e^3\times e^x = +\infty
Donc par produit, \lim\limits_{x \to +\infty}e^3\times e^x\times \dfrac{e^{x}}{x} = +\infty
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x+3}}{x} = +\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x-7}}{x^4}
On sait que \lim\limits_{x \to +\infty} x-7 = +\infty
Donc \lim\limits_{x \to +\infty} e^{x-7} = +\infty
On sait aussi que \lim\limits_{x \to +\infty} x^4 = +\infty
Donc le quotient présente une indétermination de la forme \dfrac{\infty}{\infty}.
Pour lever cette indétermination on reconnaît la forme \dfrac{e^{x}}{x^n} :
\dfrac{e^{x-7}}{x^4} = \dfrac{e^{x}\times e^{-7}}{x^4} = e^{-7}\times \dfrac{e^{x}}{x^4}
Or d'après le cours on sait que, pour tout entier naturel n :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty
Ici on a n = 4, d'où \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x}}{x^4} = +\infty.
De plus, \lim\limits_{x \to +\infty} e^{-7} = e^{-7}.
Or la fonction exponentielle est positive sur \mathbb{R} donc e^{-7} \gt 0 .
Donc par produit, \lim\limits_{x \to +\infty}e^{-7}\times \dfrac{e^{x}}{x^4} = +\infty
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x-7}}{x^4} = +\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to -\infty} x^2e^{x+2}
On sait que \lim\limits_{x \to -\infty} x+2 = -\infty
Donc \lim\limits_{x \to -\infty} e^{x+2} = 0
On sait aussi que \lim\limits_{x \to -\infty} x^2 = +\infty
Donc le produit présente une indétermination de la forme 0 \times \infty.
Pour lever cette indétermination on reconnaît la forme x^ne^x :
x^2e^{x+2} = x^2e^x\times e^2
Or d'après le cours on sait que, pour tout entier naturel n :
\lim\limits_{x \to -\infty} x^ne^x = 0
Ici on a n = 2, d'où \lim\limits_{x \to -\infty} x^2e^x = 0.
Donc par produit, \lim\limits_{x \to -\infty} x^2e^x\times e^2 = 0
\lim\limits_{x \to -\infty} x^2e^{x+2} = 0