On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = e^{x^2}.
Quelle est la valeur de la fonction dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que composée de fonctions dérivables.
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right) = x^2
On a, pour tout réel x, u'\left(x\right) = 2x.
f = e^u donc f' = u' e^u
On en conclut que :
\forall x\in \mathbb{R} , f'\left(x\right) =2xe^{x^2}
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = e^{-3x^2+12x-4}.
Quelle est la valeur de la fonction dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que composée de fonctions dérivables.
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right) = -3x^2+12x-4
On a, pour tout réel x, u'\left(x\right) = -6x+12.
f = e^u donc f' = u' e^u
On en conclut que :
\forall x\in \mathbb{R} , f'\left(x\right) =\left(-6x+12\right)e^{-3x^2+12x-4}
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = e^{-7x^5+3x^2}.
Quelle est la valeur de la fonction dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que composée de fonctions dérivables.
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right) =-7x^5+3x^2
On a, pour tout réel x, u'\left(x\right) = -35x^4+6x.
f = e^u donc f' = u' e^u
On en conclut que :
\forall x\in \mathbb{R} , f'\left(x\right) =\left( -35x^4+6x\right)e^{-7x^5+3x^2}
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}_+ par f\left(x\right) = e^{3x+\sqrt{x}}.
Quelle est la valeur de la fonction dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ en tant que composée de fonctions dérivables.
On pose, \forall x\in\mathbb{R}^*_+ , u\left(x\right) = 3x+\sqrt{x}
On a, \forall x\in\mathbb{R}^*_+, u'\left(x\right) = 3+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
f = e^u donc f' = u' e^u
On en conclut que :
\forall x\in\mathbb{R}^*_+, f'\left(x\right) = \left(3+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)e^{3x+\sqrt{x}}
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}^* par f\left(x\right) = e^{9x^2+\frac{1}{x}}.
Quelle est la valeur de la fonction dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}^* en tant que composée de fonctions dérivables.
On pose, \forall x\in \mathbb{R}^* , u\left(x\right) = 9x^2+\dfrac{1}{x}
On a, \forall x\in \mathbb{R}^*, pour tout réel x, u'\left(x\right) = 18x-\dfrac{1}{x^2}.
f = e^u donc f' = u' e^u
On en conclut que :
\forall x\in \mathbb{R}^*, f'\left(x\right) = \left(18x-\dfrac{1}{x^2}\right)e^{9x^2+\frac{1}{x}}
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}^+ par f\left(x\right) = e^{2x\sqrt{x}}.
Quelle est la valeur de la fonction dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}^+ en tant que composée de fonctions dérivables.
On pose, \forall x\in \mathbb{R}^+ , u\left(x\right) = 2x\sqrt{x}
u = v\times w donc u' = v'w+vw'.
On a donc , \forall x\in \mathbb{R}^+, u'\left(x\right) = 2\sqrt{x} +\dfrac{2x}{2\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} +\dfrac{\left(\sqrt{x}\right)^2}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x}+\sqrt{x} =3\sqrt{x} .
f = e^u donc f' = u' e^u
On en conclut que :
\forall x\in \mathbb{R}^+, f'\left(x\right) = \left(3\sqrt{x}\right)e^{2x\sqrt{x}}
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{-1}{2} \right\} par f\left(x\right) = e^{\frac{x}{2x+1}}.
Quelle est la valeur de la fonction dérivée de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{-1}{2} \right\} en tant que composée de fonctions dérivables.
On pose, \forall x\in \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{-1}{2} \right\} , u\left(x\right) = \dfrac{x}{2x+1}.
u= \dfrac{v}{w} donc u' = \dfrac{v'w-vw'}{w^2}.
On a donc, \forall x\in \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{-1}{2} \right\}, u'\left(x\right) = \dfrac{1\times \left(2x+1\right)-x\times 2}{\left(2x+1\right)^2} = \dfrac{1}{\left(2x+1\right)^2}.
f = e^u donc f' = u' e^u
On en conclut que :
\forall x\in \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{-1}{2} \right\}, f'\left(x\right) = \dfrac{1}{\left(2x+1\right)^2}e^{\frac{x}{2x+1}}