Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{-2x-1}\gt2
e^{-2x-1}\gt2
\Leftrightarrow \ln\left(e^{-2x-1}\right)\gt \ln2
Sachant que la fonction logarithme est strictement croissante sur \mathbb{R}^+.
\ln\left(e^{-2x-1}\right)\gt \ln2
\Leftrightarrow -2x-1\gt \ln2
\Leftrightarrow -2x\gt 1+\ln2
\Leftrightarrow x\lt\dfrac{1+\ln2}{-2}
S=\left]-\infty; -\dfrac{1+\ln2}{2} \right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{3-x}\lt 3
e^{3-x}\lt3
\Leftrightarrow \ln\left(e^{3-x}\right)\lt \ln3
Sachant que la fonction logarithme est strictement croissante sur \mathbb{R}^+.
\ln\left(e^{3-x}\right)\lt \ln3
\Leftrightarrow 3-x\lt \ln3
\Leftrightarrow -x\lt -3+\ln3
\Leftrightarrow x\gt 3-\ln3
S=\left]3-\ln3;+\infty \right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{4+2x}\lt5
e^{4+2x}\lt5
\Leftrightarrow \ln\left(e^{4+2x}\right)\lt \ln5
Sachant que la fonction logarithme est strictement croissante sur \mathbb{R}^+.
\ln\left(e^{4+2x}\right)\lt \ln5
\Leftrightarrow 4+2x\lt \ln5
\Leftrightarrow 2x\lt \ln5-4
\Leftrightarrow x\lt\dfrac{\ln5-4}{2}
S=\left]-\infty; \dfrac{\ln5-4}{2} \right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{2x}\lt \dfrac{1}{2}
e^{2x}\lt \dfrac{1}{2}
\Leftrightarrow \ln\left(e^{2x}\right)\lt \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)
Sachant que la fonction logarithme est strictement croissante sur \mathbb{R}^+.
\ln\left(e^{2x}\right)\lt \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)
\Leftrightarrow 2x\lt -\ln2
\Leftrightarrow x\lt\dfrac{-\ln2}{2}
S=\left]-\infty; \dfrac{-\ln2}{2} \right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{x^2}\lt 5
e^{x^2}\lt 5
\Leftrightarrow \ln\left(e^{x^2}\right)\lt \ln\left(5\right)
Sachant que la fonction logarithme est strictement croissante sur \mathbb{R}^+.
\ln\left(e^{x^2}\right)\lt \ln\left(5\right)
\Leftrightarrow x^2\lt \ln5
\Leftrightarrow x\lt\sqrt{\ln5} ou x\gt-\sqrt{\ln5}
S=\left]-\sqrt{\ln 5} ; \sqrt{\ln 5} \right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{x^2+1}\gt 8
e^{x^2+1}\gt 8
\Leftrightarrow \ln\left(e^{x^2+1}\right)\gt \ln\left(8\right)
Sachant que la fonction logarithme est strictement croissante sur \mathbb{R}^+.
\ln\left(e^{x^2+1}\right)\gt \ln\left(8\right)
\Leftrightarrow x^2+1 \gt 3\ln 2
\Leftrightarrow x\gt\sqrt{3\ln2 -1} ou x\lt-\sqrt{3\ln2-1}
S=\left]-\infty ; -\sqrt{3\ln2 -1}\right[ \cup \left]\sqrt{3\ln2 -1} ; +\infty \right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{x^2 - 2x +1 }\gt 2
e^{x^2 - 2x +1 }\gt 2
\Leftrightarrow \ln\left(e^{x^2 - 2x +1 }\right) \gt \ln 2
Sachant que la fonction logarithme est strictement croissante sur \mathbb{R}^+.
\ln\left(e^{x^2 - 2x +1 }\right) \gt \ln 2
\Leftrightarrow x^2 - 2x +1 \gt \ln 2
\Leftrightarrow x^2 - 2x +1 -\ln 2\gt 0
On détermine le discriminant de cette équation du second degré.
\Delta = b^2-4ac = 2^2-4\times 1 \times \left(1 -\ln2\right) = 4 -4 \left(1-\ln 2\right) = 4-4+4\ln2=4\ln 2.
\Delta \gt 0 donc le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -a à l'intérieur des racines. On calcule les racines, on obtient :
- x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{2 -\sqrt{4\ln2}}{} = 1-\sqrt{\ln2}
- x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{2 +\sqrt{4\ln2}}{2} = 1+\sqrt{\ln2}
Donc 3x^2 + 2x -1-\ln4 \lt 0 sur \left]-\infty ; 1-\sqrt{\ln2} \right[ \cup \left] 1+\sqrt{\ln2} ; +\infty\right[
S = \left]-\infty ; 1-\sqrt{\ln2} \right[ \cup \left] 1+\sqrt{\ln2} ; +\infty\right[