Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{2x+1}\gt1
On sait que e^{0}=1
e^{2x+1}\gt1
\Leftrightarrow e^{2x+1} \gt e^{0}
Sachant que la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, on obtient :
e^{2x+1} \gt e^{0}
\Leftrightarrow 2x+1 \gt 0
\Leftrightarrow 2x\gt -1
\Leftrightarrow x\gt -\dfrac{1}{2}
S=\left] - \dfrac{1}{2};+\infty\right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{1-x}\lt e
On sait que e=e^1
e^{1-x}\lt e
\Leftrightarrow e^{1-x}\lt e^1
Sachant que la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, on obtient :
e^{1-x}\lt e^1
\Leftrightarrow 1-x\lt 1
\Leftrightarrow 1-1\lt x
\Leftrightarrow x\gt 0
S=\left] 0;+\infty\right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{4+2x}\gt e
On sait que e=e^1
e^{4+2x}\gt e
\Leftrightarrow e^{4+2x}\gt e^1
Sachant que la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, on obtient :
e^{4+2x}\gt e^1
\Leftrightarrow 4+2x\gt 1
\Leftrightarrow 2x\gt 1-4
\Leftrightarrow x\gt -\dfrac{3}{2}
S=\left] -\dfrac{3}{2};+\infty\right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{2+x}\leqslant 1
On sait que 1=e^0
e^{2+x}\leqslant 1
\Leftrightarrow e^{2+x}\leqslant e^0
Sachant que la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, on obtient :
e^{2+x}\leqslant e^0
\Leftrightarrow 2+x \leqslant0
\Leftrightarrow x \leqslant-2
S=\left] -\infty;-2\right]
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{2+x}\leqslant -1
La fonction exponentielle est positive sur \mathbb{R}.
Ainsi, pour tout réel x, on a e^{2+x}\gt0. L'équation n'a donc pas de solutions.
S=\varnothing
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{x-3}\geqslant 1
On sait que 1=e^0
e^{x-3}\geqslant 1
\Leftrightarrow e^{x-3}\geqslant e^0
Sachant que la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, on obtient :
e^{x-3}\geqslant e^0
\Leftrightarrow x-3 \geqslant0
\Leftrightarrow x \geqslant3
S=\left[ 3;+\infty\right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{x^2-2x+1}\geqslant 1
On sait que 1=e^0
e^{x^2-2x+1}\geqslant 1
\Leftrightarrow e^{x^2-2x+1}\geqslant e^0
Sachant que la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, on obtient :
e^{x^2-2x+1}\geqslant e^0
\Leftrightarrow x^2-2x+1 \geqslant0
On reconnaît une identité remarquable : x^2-2x+1 =\left(x-1\right)^2
Un carré est toujours positif, donc pour tout réel x, on a x^2-2x+1 \geqslant0.
Cette inégalité est donc toujours vérifiée.
S=\mathbb{R}