Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to+\infty}e^{1-x}
On remarque dans un premier temps que \lim\limits_{x \to +\infty} \left(1 - x\right) = -\infty
On pose X =1-x, on a alors \lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-x\right) = \lim\limits_{X \to -\infty} X
Or \lim\limits_{X \to -\infty} e^X=0
Ainsi, par composition, \lim\limits_{x \to +\infty} e^{1-x} =0
\lim\limits_{x \to+\infty}e^{1-x}=0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to3} 2e^{2x^2-18}
On remarque dans un premier temps que \lim\limits_{x \to 3} 2x^2-18 = 0
On pose X =2x^2-18, on a alors \lim\limits_{x \to 3} 2x^2-18 = \lim\limits_{X \to 0} X
Or \lim\limits_{X \to 0} 2e^X=2e^0=2
Ainsi, par composition, \lim\limits_{x \to 3} 2e^{2x^2-18} =2e^0=2
\lim\limits_{x \to 3} 2e^{2x^2-18} =2
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to -\infty} e^{-x^3-5}
On remarque dans un premier temps que \lim\limits_{x \to -\infty} -x^3-5 = +\infty
On pose X =-x^3-5, on a alors \lim\limits_{x \to -\infty} -x^3-5 = \lim\limits_{X \to +\infty} X
Or \lim\limits_{X \to +\infty} e^X=+\infty
Ainsi, par composition, \lim\limits_{x \to -\infty} e^{-x^3-5} =+\infty
\lim\limits_{x \to -\infty} e^{-x^3-5} =+\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} e^{2x^2-3x+5}
On remarque dans un premier temps que \lim\limits_{x \to +\infty} 2x^2-3x+5 = +\infty
On pose X =2x^2-3x+5, on a alors \lim\limits_{x \to +\infty} 2x^2-3x+5 = \lim\limits_{X \to +\infty} X
Or \lim\limits_{X \to +\infty} e^X=+\infty
Ainsi, par composition, \lim\limits_{x \to +\infty} e^{2x^2-3x+5} =+\infty
\lim\limits_{x \to +\infty} e^{2x^2-3x+5} =+\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} e^{x^2+x+1}
On remarque dans un premier temps que \lim\limits_{x \to +\infty} x^2+x+1 = +\infty
On pose X =x^2+x+1, on a alors \lim\limits_{x \to +\infty} x^2+x+1 = \lim\limits_{X \to +\infty} X
Or \lim\limits_{X \to +\infty} e^X=+\infty
Ainsi, par composition, \lim\limits_{x \to +\infty} e^{x^2+x+1} =+\infty
\lim\limits_{x \to +\infty} e^{x^2+x+1} =+\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to+\infty} e^{\left(\frac{x^2-3x}{2x-1}\right)}
Limite de l'exposant
On détermine la limite de \dfrac{x^2-3x}{2x-1}
On transforme l'expression pour lever l'indétermination :
\dfrac{x^2-3x}{2x-1}=\dfrac{x^2\left(1-\dfrac{3}{x}\right)}{x\left(2-\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{x\left(1-\dfrac{3}{x}\right)}{2-\dfrac{1}{x}}
On a \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{3}{x}=0 donc \lim\limits_{x \to +\infty}1-\dfrac{3}{x}=1.
Comme \lim\limits_{x \to +\infty}x=+\infty, par produit, \lim\limits_{x \to +\infty}x\left(1-\dfrac{3}{x}\right)=+\infty
De plus, \lim\limits_{x \to +\infty}2-\dfrac{1}{x}=2
Donc, par quotient, \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x\left(1-\dfrac{3}{x}\right)}{2-\dfrac{1}{x}}=+\infty
Limite de l'expression
On pose X =\dfrac{x^2-3x}{2x-1}, et on a \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-3x}{2x-1} = \lim\limits_{X \to +\infty} X
Or \lim\limits_{X \to +\infty} e^X=+\infty
Ainsi, par composition, \lim\limits_{x \to +\infty} \exp\left(\dfrac{x^2-3x}{2x-1}\right) =+\infty
\lim\limits_{x \to +\infty} \exp\left(\dfrac{x^2-3x}{2x-1}\right) =+\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to-\infty} e^{\left(\frac{2x^2-3x}{x+5}\right)}
Limite de l'exposant
On détermine la limite de \dfrac{2x^2-3x}{x+5}
On transforme l'expression pour lever l'indétermination :
\dfrac{2x^2-3x}{x+5}=\dfrac{x\left(2x-3\right)}{x\left(1+\dfrac{5}{x}\right)}=\dfrac{2x-3}{1+\dfrac{5}{x}}
On a \lim\limits_{x \to -\infty} 2x-3=-\infty
Comme \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{5}{x}=0, par somme, \lim\limits_{x \to -\infty}1+\dfrac{5}{x}=1
Donc, par quotient, \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{2x-3}{1+\dfrac{5}{x}}=-\infty
Limite de l'expression
On pose X =\dfrac{2x^2-3x}{x+5}, et on a \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{2x^2-3x}{x+5} = \lim\limits_{X \to -\infty} X
Or \lim\limits_{X \to -\infty} e^X=0
Ainsi, par composition, \lim\limits_{x \to -\infty} \exp\left(\dfrac{2x^2-3x}{x+5}\right) =0
\lim\limits_{x \to -\infty} \exp\left(\dfrac{2x^2-3x}{x+5}\right) =0